Come calcolo gli autovettori?
salve a tutti ho questa matrice:
$((4,2),(3,-1))$
Calcolo il polinomio caratteristico e ne faccio il determinante da cui ho gli autovalori come radici del polinomio stesso e sono:
$t=5$; $t=-2$. La molteplicità algebrica è 1.
Vado a calcolarmi l'autospazio $V_5$, cioè riscrivo la matrice del polinomio sostituendo a t il valore 5, quindi ho:
$((-1,2),(3,-6))$. Risolvo il sistema associato alla matrice ed ho che:
$\{(-x+2y=0),(3x-6y=0):}$ sono proporzionali dunque ne cancello uno e rimane $-x+2y=0$ come determino gli autovettori da questa equazione?
Sareste così gentili da illuminarmi?
$((4,2),(3,-1))$
Calcolo il polinomio caratteristico e ne faccio il determinante da cui ho gli autovalori come radici del polinomio stesso e sono:
$t=5$; $t=-2$. La molteplicità algebrica è 1.
Vado a calcolarmi l'autospazio $V_5$, cioè riscrivo la matrice del polinomio sostituendo a t il valore 5, quindi ho:
$((-1,2),(3,-6))$. Risolvo il sistema associato alla matrice ed ho che:
$\{(-x+2y=0),(3x-6y=0):}$ sono proporzionali dunque ne cancello uno e rimane $-x+2y=0$ come determino gli autovettori da questa equazione?
Sareste così gentili da illuminarmi?
Risposte
Se i calcoli son giusti, $V_5$ è formato dai vettori della forma $(2y,y)$ essendo $x=2y$ e quindi una sua base è $(2,1)$
L'equazione che ti rimane è dunque un sistema indeterminato e devi porre (numero incognite)-(rango sistema)= 2-1=1 incognita come parametro libero e ricavare l'altra in sua funzione:
$\{(x=2t),(y=t):}$
dunque questo spazio è generato da $(2,1)$, cioè i coefficienti ordinati del parametro.
Paola
$\{(x=2t),(y=t):}$
dunque questo spazio è generato da $(2,1)$, cioè i coefficienti ordinati del parametro.
Paola
ah quindi devo considerare i coefficienti delle incognite in pratica! Però ho un problema con l'altro autovalore, cioè ho considerato i coefficienti però ho che l'autovettore sarebbe del tipo $(x,-3x)$ mentre sul libro mi porta $(-1,3)$! Perchè me li porta invertiti? è la stessa cosa?
Certo, tanto essendo linearmente dipendenti generano lo stesso spazio.
Paola
Paola
Semplicemente ha assegnato a $x $ il valore $-1$ e quindi $y $ assume il valore $ 3 $ e l'autovettore vale $(-1,3)$ .
Naturalemnte questo è uno degli infiniti autovettori...tutti del tipo ( x,-3x)$.
Naturalemnte questo è uno degli infiniti autovettori...tutti del tipo ( x,-3x)$.
ok allora volevo sapere un ultima cosa! dato che in sostanza l'ordine delle componenti non ha importanza, ai fini del calcolo della matrice diagonale poi non incide nemmeno su questo?
P.S. se ho $4x=5y$ il vettore sarà $(4,5)$ ?
P.S. se ho $4x=5y$ il vettore sarà $(4,5)$ ?
No attenzione, l'ordine delle componenti deve essere lo stesso delle incognite. Non capisco da dove hai dedotto questa cosa...!
Se hai $4x=5y$ il vettore sarà $(5,4)$. Infatti $x=5/4 y \to (5/4 y, y)$ e dato che possiamo prenderne uno linearmente dipendente a quest'ultimo, ci conviene moltiplicare per $4$ per non avere frazioni: $(5y,4y)$.
Paola
Se hai $4x=5y$ il vettore sarà $(5,4)$. Infatti $x=5/4 y \to (5/4 y, y)$ e dato che possiamo prenderne uno linearmente dipendente a quest'ultimo, ci conviene moltiplicare per $4$ per non avere frazioni: $(5y,4y)$.
Paola
no scusa intendevo dire che il vettore numerico dipendesse dal numero che sostituisco all'incognita! comunque ho capito grazie quindi è per questo che la matrice diagonale è un tantino diversa! 
EDIT: quidni una volta determinate le componenti dell'autovettore devo sempre fare in modo che sia indipendente in quanto ciò che sto cercando è una base del sottospazio vettoriale $V_\lambda$ giusto?
EDIT: quidni una volta determinate le componenti dell'autovettore devo sempre fare in modo che sia indipendente in quanto ciò che sto cercando è una base del sottospazio vettoriale $V_\lambda$ giusto?
Indipendente da chi?
Paola
Paola
scusa per avere il vettore $(5,4)$ hai dovuto porre $y=4$ giusto? questo non implica che il vettore sarà indipendente? perchè hai moltoplicato per 4?
"prime_number":
Infatti $x=5/4 y \to (5/4 y, y)$ e dato che possiamo prenderne uno linearmente dipendente a quest'ultimo, ci conviene moltiplicare per $4$ per non avere frazioni: $(5y,4y)$.
ah semplicemente per questo! okok scusatemi ma sto un pò fuso! XD
Ciao ragazzi sono sempre io scusate se rompo le scatole!
Avrei un dubbio sul polinomio caratteristico, mi spiego meglio:
in un esercizio mi è dato un endomorfismo e devo studiarne la diagonalizzabilità.
L'endomorfismo è definito a "pezzi" rispetto a una base $B=[u,v,w]$ con un parametro t.
Ora il mio problema è che quando vado a calcolare il polinomio per una questione di notazione scrivo la matrice $P_A(\lamba)$ invece che di t, il fatto è che però dopo ho un equazione di secondo grado in $t$ e $\lambda$ quindi ho pensato di effettuare opportuni calcoli in modo da calcolarmi prima t e poi sostituendo all'equazione mi trovo gli autovalori lambda! è giusto il ragionamento o non posso farlo?
Avrei un dubbio sul polinomio caratteristico, mi spiego meglio:
in un esercizio mi è dato un endomorfismo e devo studiarne la diagonalizzabilità.
L'endomorfismo è definito a "pezzi" rispetto a una base $B=[u,v,w]$ con un parametro t.
Ora il mio problema è che quando vado a calcolare il polinomio per una questione di notazione scrivo la matrice $P_A(\lamba)$ invece che di t, il fatto è che però dopo ho un equazione di secondo grado in $t$ e $\lambda$ quindi ho pensato di effettuare opportuni calcoli in modo da calcolarmi prima t e poi sostituendo all'equazione mi trovo gli autovalori lambda! è giusto il ragionamento o non posso farlo?
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