Combinazione lineare di colonne di matrici

[R.Russo1]

Ciao a tutti. Avevo bisogno di una delucidazione su questo passaggio riguardante la risoluzione di un sistema lineare. Esso ha come matrice INCOMPLETA $ ( ( 3 , -1 , 2 , -1 ),( 2 , 3 , -1 , 2 ) ) $ . Mi si chiede di trovare il rango di questa matrice che , ad occhio deve essere per forza minore o uguale a 2 dato che la dimensione del sottospazio generato dalle colonne deve essere uguale a quella generato dalle righe . Ho infatti 4 colonne e 2 righe . Io però decido di , per allenarmi provare a fare la combinazione lineare di queste colonne e mi accorgo, innanzitutto , che la quarta colonna è uguale alla terza quindi la quarta la posso escludere perché LIN. DIP. da questa . Ora qui viene il mio problema. Facendo la combinazione lineare delle colonne ottengo $ alpha( ( 3 ),( 2 ) ) +beta( ( -1 ),( 3 ) ) +gamma( ( 2 ),( -1 ) )=( ( 0 ),( 0 ) ) $ da cui il sistema : $ { ( 3alpha-beta+2gamma=0 ),( 2alpha+3beta-gamma=0 ):} $ . Volevo sapere per prima cosa se la combinazione lineare è eseguita correttamente e poi se mi potevate aiutare a risolvere questo sistema, perché sono fermo qui anche perché non capisco se è necessario andare ad impelagarsi con una risoluzione di questo sistema per poi risolvere quello dato, in altre parole risolvere un sistema nel sistema . Comunque in quello scritto prima ho 2 equazioni e tre incognite e vorrei capire come poterlo risolvere. Ricordo che il mio focus e sulla combinazione lineare stessa quindi non sto nemmeno utilizzando i minori e vorrei capire come arrivare all'obiettivo senza usarli; devo dimostrare che il rango della matrice scritta all'inizio è 2 . Grazie a tutti

[axpgn]

Usi Gauss ... subito sulla prima matrice, con un solo passaggio la riduci ad una con due pivot ergo rango $2$ ... (la quarta non mi pare uguale alla terza ... IMHO ...)

[R.Russo1]

Onestamente non capisco nulla del tuo messaggio. Non conosco i "pivot" e sì, il rango è 2 ma vorrei capire come ci si arriva tramite la combinazione lineare , come da richiesta .

[axpgn]

Un sistema lineare si può schematizzare con una matrice
(es. $((3x_1-1x_2+2x_3-1x_4=0),(2x_1+3x_2-1x_3+2x_4=0))\ ->\ ((3,-1,2,-1,|,0),(2,3,-1,2,|,0)) $ ) che peraltro è una tecnica standard per la sua risoluzione. Questo fatto è bidirezionale cioè si può passare da una matrice ad un sistema lineare; il sistema così ottenuto [size=150]è[/size] una combinazione lineare dei vettori colonna della matrice

(es. $alpha((3),(2))+beta((-1),(3))+gamma((2),(-1))+delta((-1),(2))=((0),(0))\ -> \ ((3alpha-1beta+2gamma-1delta=0),(2alpha+3beta-1gamma+2delta=0))$)

Quindi non capisco perché da un sistema passi ad una matrice per poi tornare ad un sistema da risolvere con una matrice ...