Coefficienti direttori di un piano

[GiulioCar93]

Buona sera, ho un dubbio che non riesco a risolvere riguardo al piano. So che la sua equazione è ax+by+cz+d=0 e so che i suoi coefficienti direttori sono (a,b,c) però non capisco perchè questi coefficienti individuino la direzione perpendicolare al piano ( mentre invece l,m,n della retta individuano la direzione parallela quindi la sua )

Grazie mille, domani ho l'esame

[stormy1]

a me viene da fare questo ragionamento
prendiamo il vettore $PQ $con $P(x_1,y_1,z_1)$ e $Q(x_2,y_2,z_2)$ appartenenti al piano
$PQ$ è contenuto nel piano ed ha componenti $(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$
avendosi per ipotesi
$ax_1+by_1+cz_1+d=0$
$ax_2+by_2+cz_2+d=0$
si ha anche $a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)=0$
cioè, il prodotto scalare tra il vettore $(a,b,c)$ ed il vettore $PQ$ è nullo
quindi,per l'arbitrarietà di $PQ$, il vettore $(a,b,c)$ è ortogonale al piano

[giovirota]

ciao giulio93,
la dimostrazione è ancora più veloce, se consideriamo un piano che passa per l'origine del sistema di riferimento,
ax + by + cz = 0
il che non annulla la sua generalità.
Il vettore (x,y,z), poichè soddisfa l'equazione del piano, giace nel piano stesso; allora il valore nullo del prodotto scalare
rappresentato dall'equazione dimostra la perpendicolarità con il vettore (a,b,c).