Classificazione quadrica degenere

[bestiedda2]

ciao a tutti.

l'esercizio è: determinare e classificare le quadriche degeneri del fascio

[tex]2x^2 + ky^2 + z^2 + 2kxy - 2x + 2z + k = 0[/tex]


tramite l'annullamento del determinante della matrice completa della quadrica ho ottenuto che l'unica quadrica degenere si ottiene per k=0. Ottengo
[tex]2x^2+z^2-2x+2z=0[/tex] . Dal calcolo degli autovalori della matrice incompleta trovo che sono 2 maggiori di zero e uno nullo, situazione comune a cilindri reali, cilindri reali o piani immaginari. Dato che ammette soluzioni reali, è un cilindro reale. Come faccio a trovare la forma canonica? Esiste un modo più veloce per classificare le quadriche degeneri del fascio?

[doppio1]

Prova a scriverlo così: [tex]2(x-1/2)^2+(z+1)^2 - 3/2 =0[/tex]...

[Lory902]

il determinante della matrice completa si annulla solo per $k=0$ e per questi valori ottieni quadriche degeneri che sono quelle che hai detto tu. Per la forma canonica di $2x^2+z^2-2x+2z=0$ segui la risposta precedente alla mia e vedrai che è un cilindro ellittico.

[angus89]

Bisogna classificare le quadriche del fascio

$2x^2+ky^2+z^2+2kxy-2x+2z+k=0$

Passiamo subito alla forma con le matrici

$(x,y,z)*((2,k,0),(k,k,0),(0,0,1))* ((x),(y),(z))+(2,2,2)*((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))*((x),(y),(z))+k=0$

Duqnue ora i nosti conti li faremo sulla matrice
$A=((2,k,0),(k,k,0),(0,0,1))$
Sviluppando il determinante sulla terza colonna e imponendolo uguale a $0$ si trova subito che il determinante è nullo per
$k=0$ oppure $k=2$

Studiamo dapprima questi casi
caso $k=0$
Andando a sostiuire abbiamo subito che la matrice è già diagonale, quindi non abbiamo neppure problemi con cambiamenti di base,

Come prima domanda potremo ad esempio chiederci se la conica ha un centro di simmetria.
La risposta è si.

In spoiler mostro come determinare se una conica è a centro e in tal caso come trovare il centro di simmetria

PROPOSIZIONE 1
Una conica è sempre esprimibile nella forma
$X^t*A*X+2^t*B+c$
Dove $X$ è il vettore delle variabili (in questo caso $(x,y,z)$), $A$ è una matrice simmetrica, $B$ è una matrice diagonale e $2^t=(2,2,2,...,2)$
(l'ho fatto nell'esercizio stesso)
(dimostrazione semplice, su richiesta la posto)

PROPOSIZIONE 2
$0$ (inteso come vettore $(0,0,...,0)$) è centro di simmetria se e soltanto se $B=0$ ($0$ inteso come matrice nulla)

NB:dire che $0$ è centro di simmetria vuol dire che se $X$ è un punto della conica, lo è anche $-X$

dim
$\Leftarrow$
Se $B=0$ allora se per un certo $X$ vale $x^t*A*X=0$, allora $(-X)^t*A*(-X)=0$ (i segni " $-$ " se ne vanno)

$\Rightarrow$
Supponendo che la conica abbia centro di simmetria in $0$ allora abbiamo che se $X$ appartiene alla conica anche $-X$ ci appartiene, il che vuol dire che simultaneamente vale
$X^t*A*X+2^t*B*X+C=0$
$(-X)^t*A*(-X)+2^t*B*(-X)+C=0$

Eliminando i segni dalla seconda il sistema diventa
$X^t*A*X+2^t*B*X+C=0$
$X^t*A*X+2^t*B*(-X)+C=0$

sottraendo alla prima la seconda diventa
$4^t*B*X=0$
essendo $X$ non nullo (sicuramente esiste un tale $X$) abbiamo $B=0$

PROPOSIZIONE 3
La conica Ha centro di simmetria se e soltanto se $A$ e $(A,diag(B))$ hanno lo stesso rango.

dim
Supponiamo che $N$ sia un centro di simmetria, allora cambiano coordinate, sostituendo a $X->X-N$ la conica ha centro in $0$, quindi verrebbe
$(Y+N)^t*A*(Y+N)+2^t*B(Y+N)+C=0$
svolvendo i calcoli
$Y^t*A*Y+2(N^t*A+B^t)*Y+N^t*A*N+2^t*B*N+C=0$
usando la proposizione 2 deve essere
$A*N=-diag(B)$
quindi basta risolvere il sistema con incognita $N$
Il viceversa è pressochè identico, cioè basta partire dal sistema e per Rouchè-Capelli segue la tesi.

(possono esser presenti essori di conto...)

Nel nostro caso ci sono più centri di simmetria (basta risolvere il sistema)
${(1/2,t,-1), t\in RR}$

Ad esempio per $t=0$, sostituendo ed effettuando il cambio di variabili
$2*x^2+z^2-5/2=0$
Quindi la conica ora ha una forma molto più familiare.

Ritengo che sia importante cercare eventuali centri di simmetria, in genere semplificano la forma della conica (togliendo la matrice $B$).

Gli altri casi li farei allo stesso modo, trovo gli eventuali centri di simmetria e faccio diventare familiare la conica, perchè le difficolta nella classificazione sono proprio legati alla matrice $B$

Quindi se il metodo che seguo ti va bene, continuo (o se hai capito continui tu).

[bestiedda2]

ciao angus grazie per il ripasso di teoria è proprio quello che faccio io...

cerco centri (se ci sono) trovo direzioni principali e relativi diametri di simmetria. Nel mio caso bastava trovare i piani di simmetria e fare in modo che fossero i piani formati dagli assi coordinati

completare i quadrati va bene se voglio trovare la forma canonica affine: in questo caso non ci dovrebbero essere differenze perchè non c'è bisogno di cambiare base del sistema di riferimento, ma si deve solo traslare. In altri casi, mi devo assicurare che il cambiamento di riferimento sia ortogonale, ed un modo per farlo è operare solo con movimenti diretti