Classificazione coniche
salve a tutti, sto studiando le coniche e sul programma la professoressa fa differenza tra la classificazione affine e la classificazione proiettiva. spulciando su internet e guardando anche i suoi appunti mi pare di capire che si parla di classificazione affine quando definisco se la conica è ellisse iperbole o parabola; si parla di classificazione proiettiva quando si definisce se la conica è degenere o meno. qualcuno può dirmi se è corretto?
grazie per l'attenzione
grazie per l'attenzione
Risposte
Vado a braccio, sperando che chi ricorda meglio di me possa aggiungere qualcosa o correggere eventuali errori.
Dal punto di vista geometrico, le coniche si dividono in classi di equivalenza. Ognuna di tali classi contiene coniche che possono essere trasformare le une nelle altre mediante una trasformazione proiettiva [risp. affine]; mentre classi diverse contengono coniche che non possono essere trasformate le une nelle altre usando trasformazioni proiettive [risp. affini].
Come sempre accade, le classi di equivalenza sono formate da coniche che hanno una proprietà in comune, la quale è invariante per trasformazioni proiettive [risp. affini].
Il problema della classificazione è: a quale classe di equivalenza (proiettiva o affine) appartiene la conica? E cioè, qual è la proprietà invariante della conica per trasformazioni proiettive [risp. affini]?
Dal punto di vista proiettivo, le uniche due proprietà invarianti sono l'essere degenere e l'essere non degenere, i.e. avere o no punti doppi.
Invece, dal punto di vista affine, le proprietà invarianti sono il numero di punti impropri e l'esistenza di punti doppi propri o impropri.
Quindi la classificazione proiettiva è semplice, poiché ci sono solo due alternative, conica degenere (presenza di qualche punto doppio) / conica non degenere (assenza di punti doppi).
Dal punto di vista affine, la situazione è più variegata. Ad esempio, ellisse (assenza di punti doppi, assenza di punti impropri) / parabola (assenza di punti doppi, un solo punto improprio) / iperbole (assenza di punti doppi, due punti impropri) / etc...
Dal punto di vista geometrico, le coniche si dividono in classi di equivalenza. Ognuna di tali classi contiene coniche che possono essere trasformare le une nelle altre mediante una trasformazione proiettiva [risp. affine]; mentre classi diverse contengono coniche che non possono essere trasformate le une nelle altre usando trasformazioni proiettive [risp. affini].
Come sempre accade, le classi di equivalenza sono formate da coniche che hanno una proprietà in comune, la quale è invariante per trasformazioni proiettive [risp. affini].
Il problema della classificazione è: a quale classe di equivalenza (proiettiva o affine) appartiene la conica? E cioè, qual è la proprietà invariante della conica per trasformazioni proiettive [risp. affini]?
Dal punto di vista proiettivo, le uniche due proprietà invarianti sono l'essere degenere e l'essere non degenere, i.e. avere o no punti doppi.
Invece, dal punto di vista affine, le proprietà invarianti sono il numero di punti impropri e l'esistenza di punti doppi propri o impropri.
Quindi la classificazione proiettiva è semplice, poiché ci sono solo due alternative, conica degenere (presenza di qualche punto doppio) / conica non degenere (assenza di punti doppi).
Dal punto di vista affine, la situazione è più variegata. Ad esempio, ellisse (assenza di punti doppi, assenza di punti impropri) / parabola (assenza di punti doppi, un solo punto improprio) / iperbole (assenza di punti doppi, due punti impropri) / etc...
Ah ok. Diciamo che avevo compreso bene o male il concetto alla base ma non avrei saputo esprimerlo in questo modo. Mi è stato molto utile, grazie mille 
Per quanto riguarda la classificazione Euclidea invece sai dirmi qualcosa? Io ho pensato fosse legata a centro diametro assi ecc. Ma non ne sono sicura.
Per quanto riguarda la classificazione Euclidea invece sai dirmi qualcosa? Io ho pensato fosse legata a centro diametro assi ecc. Ma non ne sono sicura.
"sgabryx":
Ah ok. Diciamo che avevo compreso bene o male il concetto alla base ma non avrei saputo esprimerlo in questo modo. Mi è stato molto utile, grazie mille
Per quanto riguarda la classificazione Euclidea invece sai dirmi qualcosa? Io ho pensato fosse legata a centro diametro assi ecc. Ma non ne sono sicura.
La classificazione euclidea distingue le proprietà invarianti per isometrie.
Praticamente, l'unica classe in più di coniche è quella delle circonferenze, che sono ellissi coi diametri uguali.
Poi ovviamente, c'è la distinzione tra classificazione reale e complessa...
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