Classificazione conica
non chiedo di farmi l'intero esercizio ma solo di elencarmi, se possibile, i punti dei passaggi /procedimenti per classificare una conica come questa ad esempio:
$2x^2 - 5xy + 2y^2 - 3x + 6y +1 = 0$
grazie
$2x^2 - 5xy + 2y^2 - 3x + 6y +1 = 0$
grazie
Risposte
[mod="Gugo82"]Non è un esercizio di Analisi. Fai più attenzione a dove posti.
Sposto in Geometria e algebra lineare.[/mod]
Sposto in Geometria e algebra lineare.[/mod]
Uso il metodo che mi è stato insegnato, poi non so se è lo stesso che serve a te...
Prima di tutto devi creare la matrice della conica.
Gli elementi della matrice li prendi dall'equazione:
i primi due elementi della diagonale sono i coefficienti dei termini al quadrato (ovvero 2 e 2) mentre il terzo è il termine noto, ovvero 1.
gli altri elementi della matrice corrispondono agli elementi rimanenti dell'equazione, divisi per 2 e posti simmetricamene nella matrice.
detto così sembra chissà cosa, ma è abbastanza semplice.
la matrice finale risulta:
| 2 | -5/2 | -3/2 |
| -5/2 | 2 | 6/2 |
| -3/2 | 6/2 | 1 |
Una volta che hai la matrice, devi calcolarti il determinante.
Se il determinante è diverso da 0, la conica è NON DEGENERE.
Se il determinante è uguale a 0, la conica può essere o SEMPLICEMENTE DEGENERE o DOPPIAMENTE DEGENERE.
Dopo trovi l'invariante A33, che consiste semplicemente in una matrice composta dalle prime 2 righe e colonne della vecchia matrice, ovvero così:
| 2 | -5/2 |
| -5/2 | 2 |
Calcoli il determinante di A33.
Se il determinante è > 0, la conica è un ellisse.
Se il determinante è = 0, la conica è una parabola
Se il determinante è < 0, la conica è un iperbole.
Se hai un iperbole, devi calcolare anche la traccia di A33, ovvero la somma degli elementi della diagonale (cioè 2+2).
Se la somma è uguale a 0, l'iperbole è equilatera.
Spero di non aver dimenticato niente.. sto preparando anch'io l'esame, perciò potrebbe essermi sfuggito qualcosa.
Prima di tutto devi creare la matrice della conica.
Gli elementi della matrice li prendi dall'equazione:
i primi due elementi della diagonale sono i coefficienti dei termini al quadrato (ovvero 2 e 2) mentre il terzo è il termine noto, ovvero 1.
gli altri elementi della matrice corrispondono agli elementi rimanenti dell'equazione, divisi per 2 e posti simmetricamene nella matrice.
detto così sembra chissà cosa, ma è abbastanza semplice.
la matrice finale risulta:
| 2 | -5/2 | -3/2 |
| -5/2 | 2 | 6/2 |
| -3/2 | 6/2 | 1 |
Una volta che hai la matrice, devi calcolarti il determinante.
Se il determinante è diverso da 0, la conica è NON DEGENERE.
Se il determinante è uguale a 0, la conica può essere o SEMPLICEMENTE DEGENERE o DOPPIAMENTE DEGENERE.
Dopo trovi l'invariante A33, che consiste semplicemente in una matrice composta dalle prime 2 righe e colonne della vecchia matrice, ovvero così:
| 2 | -5/2 |
| -5/2 | 2 |
Calcoli il determinante di A33.
Se il determinante è > 0, la conica è un ellisse.
Se il determinante è = 0, la conica è una parabola
Se il determinante è < 0, la conica è un iperbole.
Se hai un iperbole, devi calcolare anche la traccia di A33, ovvero la somma degli elementi della diagonale (cioè 2+2).
Se la somma è uguale a 0, l'iperbole è equilatera.
Spero di non aver dimenticato niente.. sto preparando anch'io l'esame, perciò potrebbe essermi sfuggito qualcosa.
[quote=Gugo82][/quote]
ok grazie...solo che ancora non ho imparato le categorie della matematica...forse mi può risuccedere...
ok grazie...solo che ancora non ho imparato le categorie della matematica...forse mi può risuccedere...
"Tio":
Uso il metodo che mi è stato insegnato, poi non so se è lo stesso che serve a te...
Prima di tutto devi creare la matrice della conica.
Gli elementi della matrice li prendi dall'equazione:
i primi due elementi della diagonale sono i coefficienti dei termini al quadrato (ovvero 2 e 2) mentre il terzo è il termine noto, ovvero 1.
gli altri elementi della matrice corrispondono agli elementi rimanenti dell'equazione, divisi per 2 e posti simmetricamene nella matrice.
detto così sembra chissà cosa, ma è abbastanza semplice.
la matrice finale risulta:
| 2 | -5/2 | -3/2 |
| -5/2 | 2 | 6/2 |
| -3/2 | 6/2 | 1 |
Una volta che hai la matrice, devi calcolarti il determinante.
Se il determinante è diverso da 0, la conica è NON DEGENERE.
Se il determinante è uguale a 0, la conica può essere o SEMPLICEMENTE DEGENERE o DOPPIAMENTE DEGENERE.
Dopo trovi l'invariante A33, che consiste semplicemente in una matrice composta dalle prime 2 righe e colonne della vecchia matrice, ovvero così:
| 2 | -5/2 |
| -5/2 | 2 |
Calcoli il determinante di A33.
Se il determinante è > 0, la conica è un ellisse.
Se il determinante è = 0, la conica è una parabola
Se il determinante è < 0, la conica è un iperbole.
Se hai un iperbole, devi calcolare anche la traccia di A33, ovvero la somma degli elementi della diagonale (cioè 2+2).
Se la somma è uguale a 0, l'iperbole è equilatera.
Spero di non aver dimenticato niente.. sto preparando anch'io l'esame, perciò potrebbe essermi sfuggito qualcosa.
va benone!!!! grazie!!! ora provo a fare l'esercizio per bene
"frapulci":
$2x^2 - 5xy + 2y^2 - 3x + 6y +1 = 0$
Si tratta di un'iperbole con centro in $C(2,1)$.
scusate ma se la conica era degenere cosa avrei dovuto fare???
franced come hai fatto a trovare il centro dell'iperbole?
grazie davvero a entrambi!
franced come hai fatto a trovare il centro dell'iperbole?
grazie davvero a entrambi!
"frapulci":
franced come hai fatto a trovare il centro dell'iperbole?
Molto semplice:
prendi la matrice associata alla conica e risolvi il sistema lineare associato alle prime due righe.
Nel tuo caso:
$2 x - 5/2 y - 3/2 = 0$
$-5/2 x + 2 y + 3 = 0$
Trovi $x = 2$ ; $y = 1$ .
$2 x - 5/2 y - 3/2 = 0$
$-5/2 x + 2 y + 3 = 0$
Trovi $x = 2$ ; $y = 1$ .
"franced":
Nel tuo caso:
$2 x - 5/2 y - 3/2 = 0$
$-5/2 x + 2 y + 3 = 0$
Trovi $x = 2$ ; $y = 1$ .
ok e dopo dovrei disegnare il grafico o mi basta fermarmi qui? devo scrivere anche l'equazione dell'iperbole? se sì alla formula dell'iperbole al posto di a e b cosa ci metto?
Dipende da che cosa significa "classificare una conica".
Dipende dal contesto.. in genere se dimostri che si tratta di un'iperbole il gioco è fatto;
altre volte però può essere richiesto uno studio completo della conica.
Dipende dal contesto.. in genere se dimostri che si tratta di un'iperbole il gioco è fatto;
altre volte però può essere richiesto uno studio completo della conica.
"franced":
Dipende da che cosa significa "classificare una conica".
Dipende dal contesto.. in genere se dimostri che si tratta di un'iperbole il gioco è fatto;
altre volte però può essere richiesto uno studio completo della conica.
no mi hanno appena detto quelli del mio corso che non è necessario e che mi posso fermare qui. grazie dell'aiuto!!
"frapulci":
[quote="franced"]Dipende da che cosa significa "classificare una conica".
Dipende dal contesto.. in genere se dimostri che si tratta di un'iperbole il gioco è fatto;
altre volte però può essere richiesto uno studio completo della conica.
no mi hanno appena detto quelli del mio corso che non è necessario e che mi posso fermare qui. grazie dell'aiuto!![/quote]
Prego!
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