Classe di equivalenza sugli atlanti
img Se \(\mathcal{A}_{\alpha},\mathcal{A}_{\beta} \in [\mathcal{A}]\) allora \(\mathcal{A}_{\alpha} \cup \mathcal{A}_{\beta}\) è di classe \(\mbox{C}^{r}\). Vale che \(\mathcal{A}_{\alpha},\mathcal{A}_{\alpha} \cup \mathcal{A}_{\beta} \in [\mathcal{A}]\) in quanto \(\mathcal{A}_{\alpha}\cup \mathcal{A}_{\alpha} \cup \mathcal{A}_{\beta}=\mathcal{A}_{\alpha} \cup \mathcal{A}_{\beta}\). Sostanzialmente presi due elementi della classe di equivalenza, anche la loro unione vi appartiene. Come posso scrivere bene che l'unione di tutti gli elementi della classe appartiene alla classe?
Risposte
In che senso? Non ho capito che cosa vorresti fare..
Se due atlanti sono equivalenti allora anche la loro unione appartiene alla classe di equivalenza. Intuitivamente l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza appartiene alla classe di equivalenza. Mi sembra che la dimostrazione abbia a che fare con un insieme arbitrario di indici ed io non possa usare la normale induzione.
Un altro punto. Chiamiamo questa unione atlante massimale perché non esiste nessun atlante della classe che lo contiene propriamente. Vale a dire che se ci fosse una relazione d'ordine parziale con \(\subseteq\) allora l'atlante massimale sarebbe il massimo della classe rispetto a \(\subseteq\). Perché dovrebbe anche essere unico? Come conseguenza ovvia dell'essere unione di tutti gli elementi della classe?
Un altro punto. Chiamiamo questa unione atlante massimale perché non esiste nessun atlante della classe che lo contiene propriamente. Vale a dire che se ci fosse una relazione d'ordine parziale con \(\subseteq\) allora l'atlante massimale sarebbe il massimo della classe rispetto a \(\subseteq\). Perché dovrebbe anche essere unico? Come conseguenza ovvia dell'essere unione di tutti gli elementi della classe?
Non è necessario usare l'induzione. Devi semplicemente dimostrare che l'unione di tutti gli atlanti della classe di equivalenza è un atlante (usa la definizione di atlante e osserva che ogni carta dell'atlante apparterrà ad almeno un atlante e quindi due carte qualsiasi apparterranno all'unione di due atlanti e quindi ad un altro atlante della classe di equivalenza..). A questo punto è sufficiente osservare che l'unione tra un qualsiasi atlante della classe di equivalenza e l'unione di tutti gli atlanti è uguale all'unione di tutti gli atlanti e quindi è ancora un atlante. Per cui l'unione deve appartenere alla classe di equivalenza.
Qualsiasi atlante della classe di equivalenza deve essere contenuto nell'atlante massimale e quindi se ci fosse un'altro atlante per cui tutti gli atlanti della classe sono contenuti in esso deve per forza essere uguale all'atlante massimale (valgono sia la relazione \( \subseteq \) sia \( \supseteq \) tra i due insiemi.. ).
Qualsiasi atlante della classe di equivalenza deve essere contenuto nell'atlante massimale e quindi se ci fosse un'altro atlante per cui tutti gli atlanti della classe sono contenuti in esso deve per forza essere uguale all'atlante massimale (valgono sia la relazione \( \subseteq \) sia \( \supseteq \) tra i due insiemi.. ).
"apatriarca":
Qualsiasi atlante della classe di equivalenza deve essere contenuto nell'atlante massimale e quindi se ci fosse un'altro atlante per cui tutti gli atlanti della classe sono contenuti in esso deve per forza essere uguale all'atlante massimale (valgono sia la relazione \( \subseteq \) sia \( \supseteq \) tra i due insiemi.. ).
Ma non è una osservazione pleonastica? Voglio dire, se prendo l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza il risultato non può che essere unico.
Bamp.
Non è che abbia capito molto di questo thread...
Da quel poco che ho capito, car* 4mrkv devi dimostrare che l'unione di atlanti equivalenti in una certa classe \([\mathcal{A}]\) è un elemento della classe stessa; dopodiché consideri l'unione di tutti gli atlanti in \([\mathcal{A}]\) ed hai concluso (giustificando opportunamente!)
Da quel poco che ho capito, car* 4mrkv devi dimostrare che l'unione di atlanti equivalenti in una certa classe \([\mathcal{A}]\) è un elemento della classe stessa; dopodiché consideri l'unione di tutti gli atlanti in \([\mathcal{A}]\) ed hai concluso (giustificando opportunamente!)
Bumpavo sull'ultimo commento di apatriarca. Se l'atlante massimale è l'unione di tutti gli atlanti della classe, non ho bisogno di mostrare che è unico.
Veramente devi dimostrare che esiste l'atlante massimale, e il candidato è l'unione di tutti gli atlanti... Per caso tu inizi col presupporre che esiste un atlante massimale?
L'atlante massimale è definito come l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza. Non mi sembra ci sia bisogno né di mostrare che esiste (se con questo escludo la dimostrazione che l'unione degli atlanti della classe è a sua volta un atlante) né di mostrare che è unico.
L'atlante massimale NON è definito come l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza. E' definito come un elemento massimale rispetto alla relazione d'ordine parziale. Gli oggetti massimali non sono necessariamente unici all'interno di un qualche insieme e non appartengono necessariamente ad esso. Ovviamente, se la relazione d'ordine parziale è quella data dall'inclusione e l'unione di tutti gli elementi dell'insieme appartiene all'insieme, questo elemento massimale è necessariamente l'unione di tutti gli elementi ed è unico. Ma questo era quello che si stava cercando di dimostrare per il caso degli atlanti.
Penso che il libro usi delle definizioni tutte sue: img. Data la classe di equivalenza, si definisce attraverso \(\subseteq\) una relazione d'ordine parziale. Si mostra che l'atlante ottenuto unendo tutti gli elementi della classe di equivalenza, è massimale rispetto a tale relazione. Si ottiene quindi il collegamento con il solito metodo.
No, utilizza le definizioni classiche.. almeno su questa cosa. Non ci vedo sinceramente niente di ambiguo o complicato in quello che ha detto. Forse un po' frettoloso, ma immagino che dia per scontato che il lettore abbia già lavorato con classi di equivalenza ed elementi massimali.
\(1.\) L'atlante massimale NON è definito come l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza.
\(2.\) The union of all the \(C^{r}\) atlases in an equivalence class, is itself an atlas tha is in the equivalence class. Such an atlas is called a maximal \(C^{r}\) atlas...
\(2.\) The union of all the \(C^{r}\) atlases in an equivalence class, is itself an atlas tha is in the equivalence class. Such an atlas is called a maximal \(C^{r}\) atlas...
Il punto è che dice "Such an atlas".. e non "this atlas". Prosegue poi dicendo "since it is not properly contained in any larger atlas". Quindi in realtà sta dicendo che il fatto di chiamarsi in quel mondo dipende dalla sua proprietà di essere massimale in base alla relazione e non perché è l'unione di tutti gli atlanti. Se esistesse un altro insieme con questa proprietà si chiamerebbe anch'esso atlante massimale, ma sappiamo che non ce ne sono altri.
"apatriarca":
Il punto è che dice "Such an atlas".. e non "this atlas". Prosegue poi dicendo "since it is not properly contained in any larger atlas". Quindi in realtà sta dicendo che il fatto di chiamarsi in quel mondo dipende dalla sua proprietà di essere massimale in base alla relazione e non perché è l'unione di tutti gli atlanti. Se esistesse un altro insieme con questa proprietà si chiamerebbe anch'esso atlante massimale, ma sappiamo che non ce ne sono altri.
Non sto discutendo sul perché lo chiama così. Dico solo che prima parla delle classi di equivalenza, poi definisce l'atlante massimale come l'unione degli elementi della classe. L'atlante massimale (nel libro) è definito come l'unione degli elementi della classe di equivalenza. C'è scritto eh.
E' abbastanza ovvio che un atlante massimale è entrambe le cose. E' certamente un elemento massimale nell'insieme degli atlanti (per la relazione di inclusione) ed è anche certamente l'unione di tutti gli elementi di una classe di equivalenza di atlanti. Il libro non mi sembra ambiguo o poco chiaro su questo punto. Abbiamo anche già discusso la dimostrazione del fatto che le due cose coincidono. Alla fin fine non c'è alcuna differenza se si decide di definire gli atlanti massimali in un modo o nell'altro. Cosa c'è che non capisci a questo punto?
Questa è la parte facile della geometria differenziale e mi sembra che tu ti stia facendo un sacco di problemi inesistenti. Preoccupandoti più della forma di quello che leggi che dei concetti spiegati.
Questa è la parte facile della geometria differenziale e mi sembra che tu ti stia facendo un sacco di problemi inesistenti. Preoccupandoti più della forma di quello che leggi che dei concetti spiegati.
"apatriarca":
E' abbastanza ovvio che un atlante massimale è entrambe le cose. E' certamente un elemento massimale nell'insieme degli atlanti (per la relazione di inclusione) ed è anche certamente l'unione di tutti gli elementi di una classe di equivalenza di atlanti. Il libro non mi sembra ambiguo o poco chiaro su questo punto. Abbiamo anche già discusso la dimostrazione del fatto che le due cose coincidono. Alla fin fine non c'è alcuna differenza se si decide di definire gli atlanti massimali in un modo o nell'altro. Cosa c'è che non capisci a questo punto?
Volevo vedere che l'unione degli elementi della classe di equivalenza appartenesse ancora alla classe. Tutto qui, poi Ma non è una osservazione pleonastica? Voglio dire, se prendo l'unione di tutti gli elementi della classe di equivalenza il risultato non può che essere unico è stato chiarito.
Questa è la parte facile della geometria differenziale e mi sembra che tu ti stia facendo un sacco di problemi inesistenti. Preoccupandoti più della forma di quello che leggi che dei concetti spiegati.
Mi preoccupo di verificare quello che c'è scritto sul libro. Se c'è scritto che l'unione degli elementi della classe di equivalenza vi appartiene, allora lo devo verificare. Se c'è scritto che sulla classe di equivalenza posso definire una relazione d'ordine parziale e che massimo ed atlante massimale corrispondono allora lo devo verificare.
"4mrkv":
Mi preoccupo di verificare quello che c'è scritto sul libro. Se c'è scritto che l'unione degli elementi della classe di equivalenza vi appartiene, allora lo devo verificare. Se c'è scritto che sulla classe di equivalenza posso definire una relazione d'ordine parziale e che massimo ed atlante massimale corrispondono allora lo devo verificare.
Il massimo e il massimale non coincidono. Il punto è che esiste una classe di equivalenza che separa i vari elementi massimali.
Per l'esistenza degli elementi massimali penso sia necessario usare il lemma di Zorn, ma il suo uso risulta piuttosto semplice.
Riguardo al fatto che il tutto possa essere diviso in classe di equivalenze è banale.
Ogni classe di equivalente contiene un elemento massimale per Zorn e per il fatto che elementi di due classi di equivalenza non sono confrontabili.
Che unione e ordine coincidono è una conseguenza diretta della definizione usata dell'ordine.
Il massimale di una classe di equivalenza è unico (e quindi né è un massimo) in quanto l'unione di due elementi della classe di equivalenza è contenuta nella classe di equivalenza.
Il tutto ha solo un carattere pratico: poter prendere insiemi particolarmente buoni per i vari punti della varietà. Esistono comunque altri modi per definire una varietà, e questo è di gran lunga il più intuitivo.
Scusa ma non riesco a seguirti 
Per massimale non intendevo un termine proprio, quanto atlante massimale come definito dal libro. Il mio dubbio ora è chiarito, devo solo fare i conti per verificare che tutto torni.
Per massimale non intendevo un termine proprio, quanto atlante massimale come definito dal libro. Il mio dubbio ora è chiarito, devo solo fare i conti per verificare che tutto torni.
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