Circonferenza passante per punti assegnati
Facendo un esercizio questo dice:
*Rappresentare la **circonferenza** passante per i punti assegnati:
$(0,0,0)$ , $(1,1,-2)$ , $(1,0,-1)$
Ma come una circonferenza? Non dovrei farlo passare per l'equazione della sfera in quanto ci troviamo in uno *spazio ordinario tridimensionale?*
Io ho usato:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
$d=0$
$a=c-2$
$b=c-4$
e quindi:
$x^2+y^2+z^2+(c-2)*x+(c-4)*y+c*z=0$
e poi metto la condizione affinchè sia una sfera:
$(c-2)^2+(c-4)^2+c^2>0$
il $delta<0$
quindi ogni $c$ andrebbe bene?
*Rappresentare la **circonferenza** passante per i punti assegnati:
$(0,0,0)$ , $(1,1,-2)$ , $(1,0,-1)$
Ma come una circonferenza? Non dovrei farlo passare per l'equazione della sfera in quanto ci troviamo in uno *spazio ordinario tridimensionale?*
Io ho usato:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
$d=0$
$a=c-2$
$b=c-4$
e quindi:
$x^2+y^2+z^2+(c-2)*x+(c-4)*y+c*z=0$
e poi metto la condizione affinchè sia una sfera:
$(c-2)^2+(c-4)^2+c^2>0$
il $delta<0$
quindi ogni $c$ andrebbe bene?
Risposte
Nello spazio una circonferenza è l'intersezione di una sfera con un piano.
Domanda: In questo caso quale piano $pi$ ti serve?
La sfera è l'unica fra quelle che hai trovato che ha il centro su $pi$.
Domanda: In questo caso quale piano $pi$ ti serve?
La sfera è l'unica fra quelle che hai trovato che ha il centro su $pi$.
Ok, posso trovarmi il piano passante per quei 3 punti:
$(0,0,0)$ , $(1,1,-2)$ , $(1,0,-1)$
Det$((x,y-1,z-1),(0-0,1-1,0-1),(0-0,-2-1,-1-1))$=$0$
ovvero:
Det$((x,y-1,z-1),(0,0,-1),(0,-3,-2))$=$0$
viene : $x=0$
(sperando che i calcoli siano quelli giusti)
il centro su $pi$ come lo trovo?
$(0,0,0)$ , $(1,1,-2)$ , $(1,0,-1)$
Det$((x,y-1,z-1),(0-0,1-1,0-1),(0-0,-2-1,-1-1))$=$0$
ovvero:
Det$((x,y-1,z-1),(0,0,-1),(0,-3,-2))$=$0$
viene : $x=0$
(sperando che i calcoli siano quelli giusti)
il centro su $pi$ come lo trovo?
Il piano non è quello giusto. Basta vedere che nè [tex]B(1,1,2)[/tex], nè [tex]C(1,0,-1)[/tex] vi appartengono.
L'equazione del tuo piano dovrebbe essere
[tex]\left|\begin{matrix}x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 1-0 & 2-0 \\ 1-0 & 0-0 & -1-0 \end{matrix}\right|=0[/tex]
Mi permetto di darti un consiglio: quando l'avrai calcolato, per controllare che sia il piano giusto, verifica che i tre punti vi appartengono.
Per l'equazione della sfera:
Come hai ottenuto (1), (2) e (3)? Imponendo il passaggio per [tex]A,B,C[/tex]? Ok per (1), ma per (2) e (3) non mi ritrovo...
Infine imponi che il centro appartenga al piano. Quali sono le coordinate del centro della sfera [tex]x^2+y^2+z^3+ax+by+cz+d=0[/tex]?
L'equazione del tuo piano dovrebbe essere
[tex]\left|\begin{matrix}x-0 & y-0 & z-0 \\ 1-0 & 1-0 & 2-0 \\ 1-0 & 0-0 & -1-0 \end{matrix}\right|=0[/tex]
Mi permetto di darti un consiglio: quando l'avrai calcolato, per controllare che sia il piano giusto, verifica che i tre punti vi appartengono.
Per l'equazione della sfera:
"clever":
Io ho usato:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
$d=0$ (1)
$a=c-2$ (2)
$b=c-4$ (3)
Come hai ottenuto (1), (2) e (3)? Imponendo il passaggio per [tex]A,B,C[/tex]? Ok per (1), ma per (2) e (3) non mi ritrovo...
Infine imponi che il centro appartenga al piano. Quali sono le coordinate del centro della sfera [tex]x^2+y^2+z^3+ax+by+cz+d=0[/tex]?
Dici che dovrei prendere un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ il quale sarebbe $P(-a/2,-b/2,-c/2)$ su il piano da me trovato che risulta essere (ho controllato come mi ha suggerito tu) $x-3y+z=0$
diventando $x_0-3y_0+z_0=0$
Poi faccio passare per $A$,$B$,$C$
Dovrei trovarmi $a,b,c$ e provare infine che $a^2+b^2+c^2-4d>0$
Giusto?
diventando $x_0-3y_0+z_0=0$
Poi faccio passare per $A$,$B$,$C$
Dovrei trovarmi $a,b,c$ e provare infine che $a^2+b^2+c^2-4d>0$
Giusto?
Il piano ora è giusto.
Per concludere l'esercizio ti dò ora un suggerimento più esplicito:
Rifai questi conti. Immagino che tu abbia imposto che [tex]A,B,C[/tex] appartengano alla sfera. Secondo me, c'è un errore in (2) e (3). Sistemali, oppure mostra tutti i passaggi e li controllerò.
Otterrai l'equazione della sfera dipendente da un parametro. Per trovare il valore del parametro imponi che il centro della sfera appartenga al piano.
Per concludere l'esercizio ti dò ora un suggerimento più esplicito:
"clever":
Io ho usato:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
$d=0$ (1)
$a=c-2$ (2)
$b=c-4$ (3)
Rifai questi conti. Immagino che tu abbia imposto che [tex]A,B,C[/tex] appartengano alla sfera. Secondo me, c'è un errore in (2) e (3). Sistemali, oppure mostra tutti i passaggi e li controllerò.
Otterrai l'equazione della sfera dipendente da un parametro. Per trovare il valore del parametro imponi che il centro della sfera appartenga al piano.
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