Circonferenza osculatrice

[Antimius]

Stavo rivedendo un po' di teoria locale delle curve e mi è sorto un dubbio.
Per definizione il raggio di curvatura di una curva è l'inverso della curvatura quindi in generale varia punto per punto. Fissato un punto, però, si può definire una circonferenza che ha come raggio il raggio di curvatura ed è tangente alla curva nel punto fissato. Tale è la circonferenza osculatrice.
Ora, ricordo da analisi e dalla cinematica che tale circonferenza è proprio quella che approssima meglio la curva in un intorno del punto (non è una cosa che ho trattato in geometria, quindi se sto dicendo qualcosa di impreciso, correggetemi). Qualcuno ha un hint su come dimostrare questo fatto?
La prima cosa che mi è venuta in mente è la forma locale canonica, ma con questa approssimazione la proiezione della curva sul piano osculatore in un intorno del punto è un arco di parabola, non di circonferenza.

[Quinzio]

Penso che sia dovuto al fatto che un punto materiale sottoposto ad una accelerazione trasversale costante descrive una circonferenza, e non un'altra curva.
Da questo fatto semplice ed elegante di definisce la curvatura, il cerchio osculatore, ecc.
Non credo che sia un fatto di approssimare meglio la curva.
Nulla vieterebbe, a mio modesto parere, di definire una "parabola osculatrice" al posto della circonferenza, ma ciò complicherebbe i calcoli.

[Raptorista1]

A quello che ricordo, la circonferenza osculatrice è caratterizzata dall'avere un punto di contatto triplo con la curva nel punto [il che significa che sono uguali i valori delle due curve, delle velocità e delle curvature]. Potresti tener conto di questo per dimostrare che la circonferenza osculatrice approssima la curva.

[Antimius]

Mmh, ho capito. Grazie a entrambi per le risposte!