Circonferenza
nel piano cartesiano l'equazione $x^2+y^2-8x-6y+16=0$ è una circonferenza C, quanti punti aventi coordinate intere appartengono a C?
come posso procedere?
come posso procedere?
Risposte
non sono tanti, io mi farei un disegnetto e li conterei uno ad uno
Un metodo generale che puoi utilizzare con tutte le curve algebriche di ordine due è il seguente. Determina un qualsiasi punto $P$ a coordinate razionale della curva (si può dimostrare che se ne trovi uno allora la curva ne contiene infiniti); considera il fascio proprio di rette di centro il punto $P$ e trova le intersezioni di questo con la curva al variare del coefficiente angolare $m$ (il discriminante dell'equazione risolvente sarà un quadrato perfetto perchè il punto base del fascio è a coordinate razionali). In questo modo troverai tutti i punti razionali della curva al variare del parametro libero $m inRR$; non ti resta che determinare $m$ in modo che $x$ e $y$ siano interi.
grazie,
disegnando come suggerito da Fioravante ne ho trovati 4 e credo sia la cosa più semplice essendo un questo quesito rapido a crocette che non deve richiedere troppe riflessioni.
quindi solo per curiosità; con il secondo metodo un punto $P$ può essere $P(4;0)$ a questo punto impongo il passaggio per il punto con $y-0=m(k)(x-4)
e metto a sistema con $x^2+y^2-8x-6y+16=0$ se ho capito bene
disegnando come suggerito da Fioravante ne ho trovati 4 e credo sia la cosa più semplice essendo un questo quesito rapido a crocette che non deve richiedere troppe riflessioni.
quindi solo per curiosità; con il secondo metodo un punto $P$ può essere $P(4;0)$ a questo punto impongo il passaggio per il punto con $y-0=m(k)(x-4)
e metto a sistema con $x^2+y^2-8x-6y+16=0$ se ho capito bene
Si esatto...anche se in questo caso il disegnino è la cosa migliore visto che è una circonferenza e vuoi trovare solo i punti interi..
Ciao Giuseppe
Sempre riguardo all'equazione della circonferenza, ho messo a sistema il fascio di rette passanti per un punto a coordinate intere e ho trovato le intersezioni fascio-circonferenza in funzione del parametro, in questa forma:
$x_m=1+6/(m^2+1)$
$y_m=3(1+(2m)/(m^2+1))$
Se ora mi venisse chiesto di determinare i parametri m per i quali ottengo soluzioni intere, come procedo?
Ad esempio mi verrebbe da dire che per le ascisse devo porre
$6/(m^2+1)=k$ con $kinZ$
Poi come procedo?
Grazie&ciao.
Sempre riguardo all'equazione della circonferenza, ho messo a sistema il fascio di rette passanti per un punto a coordinate intere e ho trovato le intersezioni fascio-circonferenza in funzione del parametro, in questa forma:
$x_m=1+6/(m^2+1)$
$y_m=3(1+(2m)/(m^2+1))$
Se ora mi venisse chiesto di determinare i parametri m per i quali ottengo soluzioni intere, come procedo?
Ad esempio mi verrebbe da dire che per le ascisse devo porre
$6/(m^2+1)=k$ con $kinZ$
Poi come procedo?
Grazie&ciao.
"+Steven+":
Se ora mi venisse chiesto di determinare i parametri m per i quali ottengo soluzioni intere, come procedo?
Ad esempio mi verrebbe da dire che per le ascisse devo porre
$6/(m^2+1)=k$ con $kinZ$
Poi come procedo?
Grazie&ciao.
Esatto. Ora da quella equazione ricavati $m$ in funzione di $k$; calcola il campo di esistenza del radicale e troverai che $0
Per scrupolo ho effettuato tutti i calcoli e effettivamente ho trovato quei punti lì... avrei ancora due domande
1)In questa circonferenza abbiamo pochi punti a coordinate intere, ma se avessimo avuto a che fare con un luogo enorme che abbracciava molti punti, sarebbe stato molto lungo procedere per tentativi verificando ogni volta se, sostituendo il k intero, la coordinata era a sua volta intera. In questo caso come fare?
2)Se il testo si fosse limitato a chiedere coordinate razionali, intere e non, una volta trovate in funzione del parametro, come bisognava muoversi?
Grazie per la risposta, buona settimana.
Ciao
1)In questa circonferenza abbiamo pochi punti a coordinate intere, ma se avessimo avuto a che fare con un luogo enorme che abbracciava molti punti, sarebbe stato molto lungo procedere per tentativi verificando ogni volta se, sostituendo il k intero, la coordinata era a sua volta intera. In questo caso come fare?
2)Se il testo si fosse limitato a chiedere coordinate razionali, intere e non, una volta trovate in funzione del parametro, come bisognava muoversi?
Grazie per la risposta, buona settimana.
Ciao
1) Beh mi pare strano che in un esercizio ti chiedano ti calcolare i punti a coordinate intere di un luogo geometrico che ne contiene 150... ne tantomeno mi pare che questo problema abbia particolare importanza nelle applicazioni.
2) Una volta determinati i punti in funzione del parametro m RAZIONALE hai determinato tutti i punti razionali della curva; al solito non devi dimenticatre di intersecare la curva con la retta verticale.
2) Una volta determinati i punti in funzione del parametro m RAZIONALE hai determinato tutti i punti razionali della curva; al solito non devi dimenticatre di intersecare la curva con la retta verticale.
"giuseppe87x":
1) Beh mi pare strano che in un esercizio ti chiedano ti calcolare i punti a coordinate intere di un luogo geometrico che ne contiene 150... ne tantomeno mi pare che questo problema abbia particolare importanza nelle applicazioni.
2) Una volta determinati i punti in funzione del parametro m RAZIONALE hai determinato tutti i punti razionali della curva; al solito non devi dimenticatre di intersecare la curva con la retta verticale.
Ti ringrazio Giuseppe per l'assistenza.
Ciao
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