Chiusura lineare e e dipendenza Lineare

[matematicus95]

Se ho uno spazio vettoriale $V(K)$ e sia $X$ un sottoinsieme di $V$ se ho per ipotesi che la chiusura lineare $L(X)=L(X-{v_i})$ con $v_i in X$ posso dire che $v_i$ è linearmente dipendente da $X$ ? Per ora ho dimostrato solo il viceversa come potrei fare per dimostrare anche questa implicazione?

[matematicus95]

up

[vict85]

In termini di notazione penso che sia meglio scrivere \(\displaystyle L(X\cup \{v\}) = L(X) \). Se questo succede allora \(\displaystyle v \in L(X)\).

Sotto queste ipotesi \(\displaystyle v \in L(X\cup \{v\}) = L(X) \) ovvero \(\displaystyle v \in L(X) \). E questo vuol dire che \(\displaystyle v \) è composizione lineare di elementi di \(\displaystyle X \).

[matematicus95]

Si e se invece siamo nelle ipotesi mie?

[vict85]

Prova a pensare a quando due insiemi sono uguali e prova a risponderti da solo.

[matematicus95]

Ah c'è un errore devo dire se dipende linearmente da X−{vi}

[vict85]

Ho usato la stessa tua lettera ma se preferisci posso cambiarla con una \(Y\), se tu scrivi \(L(Y) = L(Y\cup \{v\})\) oppure \(L(X) = L(X- \{v\})\) è identico, ho solo posto \(Y = X-\{v\}\). Semplicemente mi piaceva di più aggiungere che togliere ma non cambia in nessun modo la sostanza.