Chiusura di un insieme
avrei un dubbio,chi può aiutarmi si faccia avanti!
Consideriamo un insieme A,definito come l'insieme dei punti di un cerchio esclusi i punti della circonferenza;voglio sapere qual è la chiusura di A.
Se considero come definizione di chiusura l'unione tra un insieme e il suo derivato,si deduce che la chiusura di A è tutto il cerchio,cioè l'insieme A a cui si aggiunge la circonferenza;tuttavia io devo partire dalla seguente definizione:"sia X uno spazio metrico e A incluso in X.Il minimo(rispetto all'inclusione)insieme chiuso di X contenente A si chiama chiusura di A".
Da questa definizione,non si potrebbe considerare come chiusura di A l'insieme B costituito da tutti gli elementi di A è in più un solo punto della circonferenza?
Consideriamo un insieme A,definito come l'insieme dei punti di un cerchio esclusi i punti della circonferenza;voglio sapere qual è la chiusura di A.
Se considero come definizione di chiusura l'unione tra un insieme e il suo derivato,si deduce che la chiusura di A è tutto il cerchio,cioè l'insieme A a cui si aggiunge la circonferenza;tuttavia io devo partire dalla seguente definizione:"sia X uno spazio metrico e A incluso in X.Il minimo(rispetto all'inclusione)insieme chiuso di X contenente A si chiama chiusura di A".
Da questa definizione,non si potrebbe considerare come chiusura di A l'insieme B costituito da tutti gli elementi di A è in più un solo punto della circonferenza?
Risposte
Un insieme siffatto non è chiuso, e infatti non contiene A. Il più piccolo insieme chiuso che lo contiene è proprio A+punti della circonferenza.
se l'insieme A è chiuso(infatti per esso esiste una chiusura) e se è vero che l'insieme contenente quell'unico punto della circonferenza è chiuso,la loro unione (che è appunto l'insieme che chiamo B) non deve dare un insieme chiuso?
Il fatto che per un insieme esista una chiusura non significa che tale insieme sia chiuso. Una scatola senza coperchio è aperta.
E nemmeno l'insieme A+un punto della circonferenza è chiuso, è come se tu volessi chiudere la scatola di prima con un punto.
E nemmeno l'insieme A+un punto della circonferenza è chiuso, è come se tu volessi chiudere la scatola di prima con un punto.
grazie!penso di aver capito,mi aveva tratto in inganno il teorema secondo cui: A è chiuso se e solo se è uguale alla sua chiusura...
io avevo capito che se esiste la chiusura di un insieme esso è chiuso;invece se esiste la chiusura di un insieme esso è chiuso solo se essa è uguale all'insieme stesso,giusto?cosa che per l'insieme B non è vera e perciò esso nn è la chiusura di A...ho capito bene?
io avevo capito che se esiste la chiusura di un insieme esso è chiuso;invece se esiste la chiusura di un insieme esso è chiuso solo se essa è uguale all'insieme stesso,giusto?cosa che per l'insieme B non è vera e perciò esso nn è la chiusura di A...ho capito bene?
Si.
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