Chiarimento con un sistema omogeneo

[simox2]

Ciao a tutti,

Ho un dubbio nella risoluzione di un sistema omogeno..

Mi sono inventato il seguente sistema:

\(\displaystyle
\begin{align}
& x + 3y -z = 0\\
& 2x +y +z = 0\\
& 3x -4y -2z = 0
\end{align}
\)

Da cui:

\(\displaystyle
\begin{align}
& x = -3y +z\\
& 2(-3y +z) +y +z = 0 \, \} -6y + 2z +y +z = 0 \,\} -5y +3z = 0\\
& 3(-3y +z) -4y -2z = 0\, \} -9y +3z -4y -2z = 0\,\} -13y +z = 0
\end{align}
\)

Uguagliando le ultime due equazioni:

\(\displaystyle
\begin{align}
& -5y +3z = -13y +z \\
& 8y = -2z\\
& y = {-1 \over 4}z\\
\end{align}
\)

Risolvendo per \(\displaystyle x \):

\(\displaystyle
\begin{align}
& x = -3y +z \\
& x = -3 \left ( {-1 \over 4} \right )z + z \\
& x = {7 \over 4} z\\
\end{align}
\)

Ricapitolando:

\(\displaystyle
\begin{align}
& x = {7 \over 4} z\\
& y = {-1 \over 4}z\\
& z = z
\end{align}
\)

Ora, però , mettendo insieme questi valori nelle tre equazioni del sistema, i risultati non coincidono, infatti:

\(\displaystyle
\begin{align}
& {7 \over 4} + 3 \left ( {-1 \over 4} \right ) -1 = 0 \\
& 2 \left ( {7 \over 4} \right ) - {1 \over 4} +1 \neq 0 = {17 \over 4} \\
& 3 \left ( {7 \over 4} \right ) -4\left ( -{1 \over 4}\right ) -2 \neq 0 = {17 \over 4}
\end{align}
\)

C'è qualcosa che non mi è chiaro.
Dove sbaglio ?

Grazie in anticipo.

[simox2]

Credo che l' errore fondamentale che sto commettendo è:

\(\displaystyle
\dim
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -4 & -2
\end{pmatrix} = 3
\)

Quindi il sistema ammette solo la soluzione banale

\(\displaystyle x = y = z = 0 \)

Che sbadato.

[mexuss]

Esatto, anche mettendo in forma matriciale il sistema si ottiene come risultato la soluzione banale, confermo!