Chiarimento cambio di coordinate

[Mandiatutti]

Ciao a tutti! Ho queste due basi:
\( B=((1,1,1),(1,2,-1),(0,2,3)) \)
\( C=((1,1,0),(0,-1,1),(-1,0,1)) \)
Per trovare la matrice di cambiamento da C a B, ossia \( M_B,_C \) devo esprimere i vettori della base di arrivo (B) come combinazione lineare dei vettori della base di partenza (C).
Cioè:
\( (1,1,1)=x_1(1,1,0)+x_2(0,-1,1)+x_3(-1,0,1 \)
\( (0,2,-1)=x_1(1,1,0)+x_2(0,-1,1)+x_3(-1,0,1) \)
\( (-1,0,1)=x_1(1,1,0)+x_2(0,-1,1)+x_3(-1,0,1) \)
Quindi risolvo i tre sistemi associati alle applicazioni lineari ed i risultati che trovo sono i vettori colonna della matrice di cambiamento di base.

Ora il mio problema sta qua: secondo la "regola" ( devo esprimere i vettori della base di arrivo come combinazione lineare dei vettori della base di partenza) la matrice \( M_B,_C \) si trova come scritto sopra. Però secondo gli appunti presi durante la lezione si trova così:
\( (1,1,0)=x_1(1,1,1)+x_2(1,2,-1)+x_3(0,2,3) \)
\( (0,-1,1)=x_1(1,1,1)+x_2(0,-1,1)+x_3(-1,0,1) \)
\( (-1,0,1)=x_1(1,1,1)+x_2(0,-1,1)+x_3(-1,0,1) \)

Cioè ho espresso i vettori di C come combinazione lineare dei vettori di B... Non vorrei aver sbagliato di copiare ed aver scritto \( M_B,_C \) al posto di \( M_C,_B \)
Adesso vi chiedo: qual'è la procedura giusta per trovare \( M_B,_C \)?

So che c'è un altro metodo per trovare la matrice di cambiamento di base, ma preferirei usare questo...

[giovirota]

ciao Mandiatutti,
nei testi si fa un po' di confusione nell'uso dei pedici posti ai piedi del simbolo di matrice M.
Usero' allora riferimenti reali, non formali.
Se la matrice viene formata con i vettori della base di arrivo espressi come combinazione lineare dei vettori della base di partenza, questa matrice va moltiplicata per le coordinate secondo la base di arrivo per ottenere le corrispondenti
coordinate secondo la base di partenza.
Per avere invece, come verosimilmente è per il tuo caso, la matrice per il passaggio dalle coordinate secondo la prima base a quelle secondo la nuova base, si pongono in colonna le coordinate dei vettori della prima base rispetto alla
seconda.