Chiarimenti su autovalori e autovettori

[manames]

Ragazzi vi seguo sempre con immenso piacere, oggi purtroppo ho dovuto riprendere in mano un po' di algebra e mi trovo con delle confusioni sugli autovettori.
Innanzitutto la matrice (A-λI) ha sempre rango = rango(A)-1 ??

Tutto il problema comunque nasce da un'applicazione in Mathematica.
Ho questa matrice
-1 1
2 -2

I cui autovalori sono -3 e 0 e mi trovo

Quando vado a fare eigenvektors mi fornisce come autovetori (1,1) e mi trovo e un altro che però non capisco da dove esce:
(-1, 2)

Mi chiedo: per trovare gli autovettori devo sosituire ad uno ad uno gli autovalori nell'equazione (A-λI)v=0 e determinarmi (v1, v2) ?

ebbene io sia che sostituisco λ=-3 che λ=0 mi trovo sempre che le componenti dell'autovettore sono legate dalla relazione di uguaglianza v1=v2.

Perciò mi chiedo da dove esce questo autovettore (-1, 2)?? c'è qualche regola particolare per caso in presenza di autovalore nullo?


vi ringrazio gentilmente dell'attenzione concessami, spero in una risposta non troppo umiliante.

[rubik2]

il rango di $A-lambdaI$ non è sempre uguale a $rg(A)-1$ e dipenderà dal valore di $lambda$.

per quanto riguarda il resto dovresti rifarti i conti.

[ViciousGoblin]

Mi pare che $((-1),(2))$ sia autovettore relativo all'autovalore $-3$ - infatti

$((-1,1),(2,-2))((-1),(2))=(((-1)(-1)+2),(-2-4))=((3),(-6))=-3((-1),(2))$

Ti torna ??

[manames]

anche se con ritardo (ho avuto il pc fuso) vi ringrazio infinitamente dell'aiuto a Vicious e a Rubik... la mia algebra era un po' arruginita