Che ne pensate della risoluzione di questo esercizio?

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Mostrare la linearità della corrispondenza $f$ che associa ad ogni vettore $v$ di uno spazio vettoriale $V$ la sua i-esima componente rispetto a una prefissata base. Scrivere le equazioni di $f$

Svolgimento

1)Dico che $B={v_1,...,v_i,....,v_n}$ è una generica base dello spazio vettoriale $V$ per cui ogni vettore $v$ di $V$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base

$v=alpha_1v_1+....+alpha_iv_i+.....alpha_nv_n$ dove le alpha sono scalari

La componente i-esima di $v$ rispetto a $B$ è $alpha_i$ per cui scrivo l'applicazione

$f: AAvinVrightarrowf(v)=alpha_i AAalpha_iinR$

Dominio=$V$
Codominio=$R$

2)Dimostriamo che l'applicazione è lineare facendo vedere che $AA(a,b)inV$ e $AA(gamma,delta)inR$

$f(gammaa+deltb)=gammaf(a)+deltaf(b)$

Decomponendo i vettorei $a$ e $b$ rispetto alla base $B$ sono riuscito a dimostrarlo facilmente quindi l'applicazione è lineare..

3)Adesso mi si richiede di scrivere le equazione di tale omomorfismo rispetto alla base $B$ di $V$ e alla base standard di $R$ (io ho scelto arbitrariaente la base standard perchè era più semplice..)

Una volta stabilite una base di partenza e una di arrivo dovre trovare le immagini tramite $f$ dei i vettori di $B$

ma non so come fare in quanto non so quanto può fare $f(v_1)$ ecc ecc..

Avevo pensato di decomporre i vettori di $B$ rispetto agli stessi vettori della base...in tal modo otterrei che
$v_1=(1,0,0,.....,0)$ e dunque saprei per certo che la sua i-esima componente è 0 per cui $f(v_1)=0$

Quello che mi manca è la teoria per dire che i vettori della base vanno presi in componenti rispetto alla base stessa?!

[ciampax]

Bé, io direi che se indichi con $v_i$ i vettori della base, allora è ovvio che $v_i$ può essere espresso come il vettore che ha come componenti tutti zeri tranne un $1$ nella posizione $i$-esima. Per cui mi sembra che

$f(v_j)=0$ se $j\ne i$
$f(v_j)=1$ se $j=1$

e questa ultima cosa si può scrivere come $f(v_j)=\delta_{ji}$ (il simbolo di Kronecker).

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grazie ciampax!
in questo caso va tutto a gonfie vele ma in altri esercizi simili è necessario sempre esprimere i vettori della base di partenza in componenti rispetto alla stessa base?
Insomma conviene sempre fare così oppure dipende da esercizio a esercizio?

[ciampax]

Sempre meglio procedere così per due motivi: 1) le cose sono più chiare; 2) in questo modo ottieni, direttamente, anche la matrice che rappresenta l'applicazione lineare. In generale se $f:V\rightarrow W$ e $\{v_i\}_{i=1,\lodts,n}$ base di $V$ e $\{w_\alpha\}_{\alpha=1,\ldots,m}$ base di $W$, allora puoi scrivere

$f(v_i)=\sum_{\alpha=1}^m a_{i\alpha} w_\alpha$

e gli $a_{i\alpha}$ sono le componenti della matrice associata all'applicazione.

Nel caso precedente la matrice che rappresenta l'applicazione è

$M=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ con $1$ nella posizione $i$-esima.

Pertanto, le equazioni sono le seguenti: se $v=(x_1,\ldots,x_n)\in V$ allora

$f(v)=M v^T=x_i=\sum_{j=1}^n x_j \delta_{ij}$

P.S.: prima ti avevo scritto solo la matrice di rappresentazione.

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perfetto! grazie ancora ciampax, era ragionevole in effetti lavorare in questo modo!