Cercare autovalori e autovettori
Salve ragazzi, ho un problema riguardante la ricerca di autovalori e autovettori, vi posto il testo del problema:
Sia $A = (u1=(1,0), u2=(1,1))$ una base di $ mathbb(R^2)$ e sia $f : mathbb(R^2) rarr mathbb(R^2) $ un endomorfismo assegnato mediante $f(u1) = (1,1), f(u2) = (2,2) .$ Cercare gli autovettori e gli autovalori.
Non saprei come procedere, potete aiutarmi? grazie mille
Sia $A = (u1=(1,0), u2=(1,1))$ una base di $ mathbb(R^2)$ e sia $f : mathbb(R^2) rarr mathbb(R^2) $ un endomorfismo assegnato mediante $f(u1) = (1,1), f(u2) = (2,2) .$ Cercare gli autovettori e gli autovalori.
Non saprei come procedere, potete aiutarmi? grazie mille
Risposte
Ciao, la prima cosa che devi fare è costruire la matrice associata all'applicazione. Sei capace?
Suggerimento: sfrutta la linearità!
Suggerimento: sfrutta la linearità!
Se ti dicessi per cortesia come si fa perché sono incapace di farlo ? 
Nessun problema! Se vogliamo scrivere la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica dobbiamo scrivere quella matrice che ha per colonne le immagini dei vettori della base canonica. Vogliamo quindi $f((1),(0))$ e $f((0),(1))$. Con il primo siamo fortunati perché ci viene detto che $f((1),(0))=((1),(1))$. Per quanto riguarda il secondo vettore ci viene detto che $f((1),(1))=((2),(2))$ ma per la linearità noi sappiamo che $f((1),(1))=f((1),(0))+f((0),(1))$. Sostituendo quello che sappiamo già arriviamo a dire $f((0),(1))=((1),(1))$. In conclusione la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica di $RR^2$ è $$\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$$
Mmmh...non capisco perche dobbiamo cercare.i $f(1,0) e f(0,1)$
Perché la matrice associata a un'applicazione lineare rispetto alla base canonica è quella matrice che ha per colonne le immagini dei vettori della base canonica, quindi... ci servono queste immagini! 
oook ci sono, possiamo continuare
Bene, ora abbiamo la matrice (che chiameremo $A$) e vogliamo trovare autovalori e autovettori.
Come noto, gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico di $A$, cioè del determinante di $A-\lambda I$. Nel nostro caso $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda\end{bmatrix}$$ $$\operatorname{det}\left(A-\lambda I\right) = \left(1-\lambda\right)^2-1 = \lambda \left(\lambda-2\right)$$ che si annulla per $$\lambda_1 = 0 \qquad \lambda_2 = 2$$ e questi sono gli autovalori.
Se è tutto chiaro procediamo con la puntata sugli autovettori.
Come noto, gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico di $A$, cioè del determinante di $A-\lambda I$. Nel nostro caso $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda\end{bmatrix}$$ $$\operatorname{det}\left(A-\lambda I\right) = \left(1-\lambda\right)^2-1 = \lambda \left(\lambda-2\right)$$ che si annulla per $$\lambda_1 = 0 \qquad \lambda_2 = 2$$ e questi sono gli autovalori.
Se è tutto chiaro procediamo con la puntata sugli autovettori.
OOOOK...VAMOS 
(scusa le lettere maiuscole )
(scusa le lettere maiuscole )
D'accordo, passiamo quindi agli autovettori. Ricordando la definizione, cioè $$Av = \lambda v$$ possiamo scrivere $$\left(A-\lambda I\right)v = 0 \quad\rightarrow\quad v \in \operatorname{Ker}\left[A-\lambda I\right]$$ Quindi per ogni autovalore dovremo cercare il kernel (nucleo) della matrice $A-\lambda I$.
Partiamo con $\lambda = 0$: cerchiamo il kernel di $$A-0 I = A = \begin{bmatrix}
1&1\\1&1
\end{bmatrix}$$ Il rango della matrice è $1$, quindi la dimensione del suo nucleo è $2-1=1$ e questo si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\-1
\end{bmatrix}$$ Passiamo quindi a $\lambda=2$. Cerchiamo il nucleo di $$A - 2I=\begin{bmatrix}
-1&1\\1&-1
\end{bmatrix}$$ Di nuovo il rango è $1$ quindi la dimensione del nucleo è ancora $1$ e si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}$$ E questo conclude l'esercizio.
Partiamo con $\lambda = 0$: cerchiamo il kernel di $$A-0 I = A = \begin{bmatrix}
1&1\\1&1
\end{bmatrix}$$ Il rango della matrice è $1$, quindi la dimensione del suo nucleo è $2-1=1$ e questo si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\-1
\end{bmatrix}$$ Passiamo quindi a $\lambda=2$. Cerchiamo il nucleo di $$A - 2I=\begin{bmatrix}
-1&1\\1&-1
\end{bmatrix}$$ Di nuovo il rango è $1$ quindi la dimensione del nucleo è ancora $1$ e si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}$$ E questo conclude l'esercizio.
CHIARISSIMO...una cosa..ma la dimensione del nucleo.. non è anche il numero di righe non nulle? oppure è la differenza tra gli elementi speciali e il numero di incognite totali?
Che io sappia la dimensione del nucleo è la differenza tra la dimensione della matrice e il suo rango. Poi avrà sicuramente altre proprietà...
Scusa.. ricordavo male.. le cose che ho detto valgono per calcolare la dimensione dell'immagine
"minomic":
D'accordo, passiamo quindi agli autovettori. Ricordando la definizione, cioè $$Av = \lambda v$$ possiamo scrivere $$\left(A-\lambda I\right)v = 0 \quad\rightarrow\quad v \in \operatorname{Ker}\left[A-\lambda I\right]$$ Quindi per ogni autovalore dovremo cercare il kernel (nucleo) della matrice $A-\lambda I$.
Partiamo con $\lambda = 0$: cerchiamo il kernel di $$A-0 I = A = \begin{bmatrix}
1&1\\1&1
\end{bmatrix}$$ Il rango della matrice è $1$, quindi la dimensione del suo nucleo è $2-1=1$ e questo si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\-1
\end{bmatrix}$$ Passiamo quindi a $\lambda=2$. Cerchiamo il nucleo di $$A - 2I=\begin{bmatrix}
-1&1\\1&-1
\end{bmatrix}$$ Di nuovo il rango è $1$ quindi la dimensione del nucleo è ancora $1$ e si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}$$ E questo conclude l'esercizio.
due dubbi:
1. gli autovettori saranno $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}$$ e $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\-1
\end{bmatrix}$$ ???
2. perché si può fare??:
e questo si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\-1
\end{bmatrix}$$
e
e questo si può scrivere come $$\operatorname{Im}\begin{bmatrix}
1\\1
\end{bmatrix}$$
Primo dubbio: sì gli autovettori sono $$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$$
Secondo dubbio: ho trovato il Ker "a occhio" perché era molto facile. Per il Ker devi trovare una combinazione lineare delle colonne che dia come risultato il vettore nullo. Nel primo caso le due colonne erano uguali, quindi bastava fare la sottrazione tra l'una e l'altra. Nel secondo caso invece le colonne erano una l'opposto dell'altra, quindi bastava farne la somma.
Secondo dubbio: ho trovato il Ker "a occhio" perché era molto facile. Per il Ker devi trovare una combinazione lineare delle colonne che dia come risultato il vettore nullo. Nel primo caso le due colonne erano uguali, quindi bastava fare la sottrazione tra l'una e l'altra. Nel secondo caso invece le colonne erano una l'opposto dell'altra, quindi bastava farne la somma.
se hai la matrice:
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
al combinazione lineare tra le due colonne per avere un vettore nullo non è $ ( ( -1 , -1 ) $ ?? Oppure mi sto confondendo con la combinazione lineare?
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
al combinazione lineare tra le due colonne per avere un vettore nullo non è $ ( ( -1 , -1 ) $ ?? Oppure mi sto confondendo con la combinazione lineare?
Per avere il vettore nullo devi prendere la prima colonna e sottrarre la seconda, e questo equivale a moltiplicare la matrice per il vettore $((1),(-1))$. Se non ti trovi con questo metodo puoi sempre impostare il sistema lineare (e omogeneo) e risolvere. Chiaramente in questo modo impieghi molto più tempo...
cioè fare questo:
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) . ( ( x , y ) ) = ((0,0)) $
??? scusa se ti sto facendo perdere tempo per cose ovvie..ma a volte mi incarto xD
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) . ( ( x , y ) ) = ((0,0)) $
??? scusa se ti sto facendo perdere tempo per cose ovvie..ma a volte mi incarto xD
Quello che hai scritto non ha senso perché non puoi moltiplicare una $2 \times 2$ per una $1 \times 2$. Quel vettore deve essere colonna, e anche il vettore nullo.
si ho sbagliato la sintassi ma è quello che volevo scrivere..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo