Cardinalità di insiemi

[Sk_Anonymous]

Ciao, volevo chiedervi se è giusta lo soluzione di questo esercizio.
Sia $A$ un insieme avente $20$ elementi e siano $B$ e $C$ due sottoinsiemi disgiunti di $A$ aventi ciascuno $4$ elementi. Si calcoli la cardinalità dei seguenti insiemi $X$, $Y$ e $Z$:

$X:={finA^A|f $è iniettiva$}$
$Y:={finX | f(B)sub C}$
$Z:={Din2^A | BsubD e DnnC=O/}$

Soluzione...
$X$ = numero funzioni iniettive da A in A = bigez($A$,$A$) =$|A|!$=$20!$

$Y$ = numero di tutte le funzioni iniettive da $A\\B$ in $A$ con tutte le funzioni iniettive da $B$ a $C$, (le iniettive da un 4-insieme ad un 4-insieme). $|Y|=|A^(|A\\B|)| * |B|! = 20^16*4!$

$Z$ = Considero l'insieme delle parti di $A$ che non possiede elementi di $C$, e poichè $D$ comprende almeno $B$ allora $|Z|=|2^(A\\C)|-2^|B|=2^16-2^4$

[adaBTTLS1]

$X$ è OK (nel senso che $|X|=20!$), gli altri due non mi convincono.
io direi $|Y|=16!*4!$, $|Z|=2^12$.
prova a rifletterci e facci sapere. ciao.

[Sk_Anonymous]

"adaBTTLS":$X$ è OK (nel senso che $|X|=20!$), gli altri due non mi convincono.
io direi $|Y|=16!*4!$, $|Z|=2^12$.
prova a rifletterci e facci sapere. ciao.

ciao ADA, per la $|Y|$ ho dedotto che si tratta di tutte le funzioni iniettive da $A$ in $A$ tali che $4$ elementi ($|B|$) vadano in un insieme di 4 elementi ($|C|$) e $16$ elementi ($|A\\B|$) vadano in un insieme di $16$ elementi ($|A\\C|$), per cui il calcolo è uguale a: $|Y|=4!*16!$

per il terzo, siccome $D$ ha sempre almeno 4 elementi ($|B|$) e può variare fino ad un massimo di 16 elementi($|A\\C|$), posso rappresentare tutti i possibili sottoinsiemi di un $16-4=12$-insieme, quindi $2^12$. E' corretto il ragionamento?

Ciao

[adaBTTLS1]

sì, il ragionamento è giusto.

dovresti ridurre il tuo avatar (le dimensioni massime sono riportate nel regolamento). ciao.