Caratterizzazione isometrie

[m_2000]

Riguardo la definizione di isometria in uno spazio affine euclideo $E_n$ ho trovato due diverse versioni...
La mia definizione (quella del mio professore di geometria 2) è questa:
Dato uno spazio affine euclideo $E_n$ e un'affinità $\varphi:E_n ->E_n$, questa dice isometria se ha come parte lineare un endomorfismo $L:V->V$ t.c $LinO(V)$
Allora per al caratterizzazione delle isometrie, ho che: $\varphi$ è isometria $iff \varphi$ conserva le distanze.
Nella dimostrazione dell'implicazione $lArr$, devo dimostrare che $L$ è un operatore unitario.
Allora si definisce $L:=f_(\varphi(O)) \ o\ \varphi \ o \ (f_O)^(-1)$
Allora viene dimostrato prima che $L(0_V)=0_V$ e poi che $AAu,vinV \ :\ ||L(u)-L(v)||=||u-v||$ sfruttando la conservazione della distanza.
Io avrei (?) trovato una soluzione simile ma un po' più breve nei calcoli e quindi volevo sapere se fosse valida...
Data la distanza delle immagini secondo $\varphi$ di due punti:
$d(\varphi(P),\varphi(Q))=||\varphi(P)\varphi(Q)||=sqrt(g(\varphi(P)\varphi(Q),\varphi(P)\varphi(Q)))
=sqrt(g(L(PQ),L(PQ))$
Il mio unico dubbio è nella terza uguaglianza... posso assumere direttamente che $L(PQ)=\varphi(P)\varphi(Q)$? Cioè posso dare per buono che $\varphi$ sia un'affinità?
Poi segue così:
$d(PQ,PQ)=||PQ||=sqrt(g(PQ,PQ))$
quindi concludo che $g(L(PQ),L(PQ))=g(PQ,PQ)$

[dissonance]

Chi è \(g\)? Ma in ogni caso, non puoi "dare per buono che \(\phi\) è una affinità". Quello è proprio il punto difficile della dimostrazione. Non è affatto ovvio che una mappa che conserva le distanze sia affine, se ci pensi. È un fatto che io trovo molto sorprendente, se vuoi la mia opinione.

[m_2000]

Ciao, anzitutto grazie per la risposta. $g:V$ x $ V->RR$ è un prodotto scalare. In effetti come dici tu, rileggendo del teorema ho che $\varphi:E_n->E_n$ viene definita semplicemente come un'applicazione, e non come un'affinità. Quindi dovrei dimostrare prima che $\varphi$ sia un'affinità( $L(PQ)=\varphi(P)\varphi(Q)$ ) e poi che $L$ è un operatore unitario.
Quindi potrei anche definire $L:=f_(\varphi(O)) \ o\ \varphi \ o \ (f_O)^(-1), L:V->V$, da cui:
$AAP inE_n \:\ L(OP)=f_(\varphi(O))(\varphi(f_O^(-1)(OP)))=f_(\varphi(O))(\varphi(P))=\varphi(O)\varphi(P)$
Allo stesso modo: $L(OQ)=\varphi(O)\varphi(Q)$
$L(PQ)=L(PO+OQ)=L(PO)+L(OQ)=-L(OP)+L(OQ)=\varphi(P)\varphi(O)+\varphi(O)\varphi(Q)=\varphi(P)\varphi(Q)$
Quindi ora avendo che $\varphi$ è un'affinità dovrebbe poter proseguire come ho scritto nel mio primo messaggio...