Campo vettoriale conservativo

[SaturnV]

Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio.
Mi ritrovo con un campo vettoriale irrotazionale, definito in R privato di un punto (1,0 per la cronaca), quindi non stellato.
Per il lemma di Poincare non dovrebbe essere conservativo.
Tuttavia riesco a derivare la funzione potenziale di quel campo (ovviamente non definita nel punto di singolarità).
Quindi il mio dubbio è: questo campo vettoriale non è conservativo in R, ma in R privato del punto di singolarità sì, vero?
Ossia, il lavoro del campo calcolato lungo qualsiasi curva che non passi per la singolarità dovrebbe essere nullo, vero?

Grazie.

Fabio

[maurymat]

Io credo di no. Il campo per essere conservativo dovrebbe avere la prerogativa che è nullo il lavoro su "ogni" curva chiusa che inizia e termina in un punto del dominio. Nel tuo caso esiste almeno una curva chiusa (in realtà ne esistono infinite) con gli estremi nel dominio ma che passa per la singolarità.

[SaturnV]

Ho un dubbio di carattere generale su questo argomento.
Allora, ho un campo gradiente non definito in un punto (l'origine, per esempio).
Ora, il lavoro di questo campo su qualsiasi curva chiusa è nullo... e allora perchè se calcolo il lavoro su una curva chiusa che contiene il punto di singolarità (ossia esso è interno al percorso) il lavoro non mi viene nullo? E' vero che il lavoro del campo su qualsiasi curva chiusa che contiene la singolarità è sempre lo stesso (e diverso da zero) ?

Grazie

Fabio