Cambio di base con matrice unitaria

[thedarkhero]

Teorema:
Siano V e W spazi vettoriali sul corpo C. Sia $phi:V->W$ applicazione lineare.
Esistono $v={v_1,...,v_n}$ base di V e $w={w_1,...,w_m}$ base di W tali che $alpha_(v,w)(phi)=((1_n,0),(0,0))$ dove $1_n$ è la matrice unitaria $n*n$ con $n=dim Im phi$.
Dimostrazione:
Sia ${v_(r+1),...,v_n}$ base di $kerphi$. Si può completare a una base di V ${v_1,...,v_r,v_(r+1),...,v_n}$.
Allora $Im phi=$.
Posso completarla a una base di W ${phi(v_1),...,phi(v_r),v_(r+1),...,v_n}$.
Non mi è chiaro il perchè di quest'ultimo passaggio...

[dissonance]

E' una tecnica standard dell'algebra lineare. Dato un insieme di vettori lin. indip. di uno spazio vettoriale di dimensione finita, puoi sempre aggiungere all'insieme degli altri vettori per renderlo una base ("completamento"). Si può dimostrare per via astratta o per via algoritmica, io preferisco la seconda: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 38632.html

[thedarkhero]

Si so cosa significa completare ad una base.
Mi chiedevo perchè sono proprio i vettori $v_(r+1),...v_n$ a completare la base dell'immagine ad una base di W

[dissonance]

Ah scusami non avevo letto con attenzione. Guardando meglio, nell'ultimo passaggio c'è un errore. Infatti l'insieme ${phi(v_1) \ldots phi(v_r), v_{r+1} \ldots v_n}$ è composto da vettori di $W$ e di $V$. Quindi non è un sottoinsieme di $W$.

[thedarkhero]

Come posso correggerlo? Non riesco a continuare la dimostrazione

[killing_buddha]

C'è qualche problema notazionale, a partire dal fatto che [tex]n[/tex] nel tuo scritto indica due quantità numeriche intere diverse: da una parte si è portati ad assumere che [tex]n[/tex] sia la dimensione di [tex]V[/tex] sul corpo [tex]C[/tex], e però d'altra parte affermi che [tex]n[/tex] è il rango della applicazione [tex]\phi[/tex].

Prova anzitutto a fare ordine: la cosa si può mostrare anche "operativamente" supponendo di manipolare la matrice di [tex]\phi[/tex] con successive mosse di Gauss.

Se invece la vuoi vedere in termini di endomorfismi, il gioco è praticamente fatto. Prendi una base di [tex]\ker\phi[/tex], diciamo [tex]\{v_1,\dots,v_k\}[/tex] e completala a base di [tex]V[/tex] ottenendo [tex]\{v_1,\dots,v_k, v_{k+1},\dots v_n\}[/tex] (se [tex]n=\dim_K V[/tex]). A questo punto [tex]\phi(v_{k+1},\dots, \phi(v_n)[/tex] generano [tex]\text{im}\,\phi[/tex] (sono [tex]r=n-k[/tex] vettori linearmente indipendenti, [tex]r[/tex] per df. il rango di [tex]\phi[/tex], e puoi completare anche loro a base di [tex]W[/tex]. Ma con questa scelta di basi la matrice di [tex]\phi[/tex] è proprio
[tex]\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_r & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

[thedarkhero]

Chiaro, grazie!