Calcolo veloce autovalori senza utilizzare il polinomio caratteristico

[marcop13]

Ciao,
in un compito d'esame dovevo calcolare gli autovalori di questa matrice e dire se erano interni al cerchio di raggio r = 0.6, r=0.3 oppure r=0.8.
Siccome il tempo riservato a questo esercizio era davvero poco suppongo ci sia qualche trucco per un calcolo veloce degli autovalori.

- Tutti i valori della matrice sono strettamente < 1
- E' richiesto solo se gli autovalori siano interni ad un certo cerchio di raggio < 1

$1/3 ( ( 0.1 , 0.2 , 0.3 ),( 0.4 , 0.5 , 0.6 ),( 0.7 , 0.8 , 0.9 ) ) $
Ora i dati che ho scritto ora sono random, ma l'unica caratteristica che mi ricordo è che erano tutti < 1. Qualcuno conosce qualche trucco più veloce che NON implica il calcolo del polinomio caratteristico?

[ciampax]

Teorema di Gerschgorin: http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_Gerschgorin

[marcop13]

Grazie mille! Non conoscevo affatto questo teorema!! (E neppure c'era sul libro!)
Ho provato a seguire i passi descritti nella versione Inglese (dove c'è anche l'esempio), per la matrice che ho scritto sopra, ed ho ottenuto questi tre dischi:

- D(0.03, 0.166)
- D(0.16, 0.3)
- D(0.3, 0.5)

Quindi poichè il teorema dice che "ogni autovalore di A si trova in almeno uno dei dischi di Gershgorin".

0) Posso dire che gli autovalori stanno nei cerchi con raggi r < 0.166, r < 0.3 e r < 0.5 ??? E' esatto?

1) Il mio dubbio stà anche nel fatto che questi tre dischi hanno centro in punti diversi (0.03, 0.16 e 0.3 il terzo). Nella domanda d'esame mi viene chiesto semplicemente "se sono interni al cerchio di raggio 0.8", quindi devo presupporre che sia centrato in 0?? oppure un qualunque centro và bene?

2) Su Wikipedia viene scritto "within". Con questo intende che non si trovano sulla frontiera? E' strettamente minore, anziche del $ <= $ ??

Gli autovalori esatti di questa matrice sono:


http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F3+*+%7B%7B0.1%2C+0.2%2C+0.3%7D%2C+%7B0.4%2C0.5%2C0.6%7D%2C+%7B0.7%2C0.8%2C+0.9%7D%7D

Grazie ancora per la disponibilità

[ciampax]

0) sì (anche se non ho fatto i conti per cui non so se i valori sono corretti). Tuttavia, parlando di numeri reali, il disco $D(a,r)$ equivale all'intervallo $(a-r,a+r)$ e ti conviene ragionare con essi, piuttosto che con i dischi;

1)-2) ovviamente l'osservazione precedente dovrebbe portarti a concludere ciò che vuoi: il disco richiesto nel tuo caso è, ovviamente, quello che sottende l'intervallo $(-r,r)$ (centrato nell'origine).

[marcop13]

Perfetto! Sarà di grande utilizzo! Senti ma il fatto che tutti gli elementi della matrice siano < 1 può suggerire qualcosa ai fini degli autovalori oppure sono valori come altri?

[ciampax]

Mah, in linea di massima puoi dire che la norma matriciale è correlata alle norme degli elementi (e quindi puoi aspettarti un certo "controllo" se tutti gli elementi sono $

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[marcop13]

Ok, grazie.
Ricapitolando, ho calcolato i tre intervalli

I(-0.136, 0.196)
I(-0.14, 0.46)
I(-0.2, 0.8)

1) Tra questi tre, il più grande è il terzo intervallo. Quindi posso concludere che tutti gli autovalori sono interni al cerchio di raggio 0.2 centrato in 0?
Nella Wikipedia IT si parla di fare l'intersezioni tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna. Ma cosa s'intende? Riportato agli intervalli? I vari cerchi li ho calcolati lungo la diagonale. Dopo aver trovato questi tre intervalli qual è il successivo step?

[ciampax]

La fai troppo complicata: hai questi tre intervalli, per cui basta chiedersi se essi siano tutti contenuti nell'intervallo $(-0.8,0.8)$. Niente di più. Nel caso di una variabile reale, non ha senso parlare dei cerchi riga e colonna (che, in pratica, sono le proiezioni sugli assi).

[marcop13]

Unn ultima cosa, pero' in questo caso se avessi dovuto vedere se: "esistono autovalori all'interno del cerchio di raggio 0.6" avrei risposto negativamente perche', tra quei tre invervalli sopra riportati, l'ultimo (-0.2, 0.8) non e' contenuto in (-0.6, 0.6). E quindi avrei escluso questa scelta. Mentre in realta', risolvendo la matrice con Wolfgramalpha, vedo che sono tutti < 0.6!

[marcop13]

Le sto provando tutte, avendo una matrice di questo tipo non c'è proprio alcun "trucco" per calcolare se gli autovalori sono interni ai cerchi di raggi 0.8, 0.7 e 0.6 evitando di calcolare il polinomio caratteristico e quindi poi applicare Schur-Cohn??
So' che se ho il polinomio caratteristico, e poi sostituisco $ x= rx $ con $ r= 0.8 $ verifico se gli autovalori sono interni al cerchio di raggio 0.8, ma in questo caso non è una grand scelta calcolarsi il polinomio caratteristico a mano in 2min di tempo, non c'è nient'altro?