Calcolo dimensione sottospazio vettoriale
Ciao a tutti ho un problema nel capire come trovare la dimensione del seguente sottospazio,per spiegarvi meglio vi scrivo l'intero esercizio:Sia \[ f:R^{n}\to R^{m}\] un'applicazione lineare iniettiva e sia \[g:R^{m}\to R^{n}\] un'applicazione surgettiva .Si verifichi che \[E={h \in End(R^{m})| g°h°f=0}\] è un sottospazio di $End(R^{m})$ e se ne calcoli la dimensione. per capirci il simbolo ° sarebbe la composizione.
Allora ho dimostrato che è sottospazio senza difficoltà e ho iniziato a ragionare su dimensioni delle immagini e dei ker delle tre applicazioni g,f,h ottenendo :dim Im f=n dim ker f=0,dim Im g=n dim ker g=m-n, dim Im h=m-n, dim ker h=n ora io non riesco a collegare queste cose con la dimensione di E,alcuni miei colleghi di università dicono che dim E=m(m-n) altri dim E=m-n, ora io mi chiedo,se vedo l'applicazione h come asscociata ad una matrice,tale matrice avrà m-n colonne che compongono l'Im h e n colonne di zeri che sono il ker h quindi avrò m-n vettori per definire E e quindi la dimensione di E è solo m-n oppure dato che la matrice associata ad h è una matrice m righe e m-n colonne dell'immagine la dimensione è m(m-n) ? scusate ma sono confusa,in altri casi riesco a ricostruire l'applicazione e a risalire alla matrice ma qua non ci riesco. Se ho postato male o troppo confusionario etc.. fatemelo subito notare che correggo tutto subito.
Allora ho dimostrato che è sottospazio senza difficoltà e ho iniziato a ragionare su dimensioni delle immagini e dei ker delle tre applicazioni g,f,h ottenendo :dim Im f=n dim ker f=0,dim Im g=n dim ker g=m-n, dim Im h=m-n, dim ker h=n ora io non riesco a collegare queste cose con la dimensione di E,alcuni miei colleghi di università dicono che dim E=m(m-n) altri dim E=m-n, ora io mi chiedo,se vedo l'applicazione h come asscociata ad una matrice,tale matrice avrà m-n colonne che compongono l'Im h e n colonne di zeri che sono il ker h quindi avrò m-n vettori per definire E e quindi la dimensione di E è solo m-n oppure dato che la matrice associata ad h è una matrice m righe e m-n colonne dell'immagine la dimensione è m(m-n) ? scusate ma sono confusa,in altri casi riesco a ricostruire l'applicazione e a risalire alla matrice ma qua non ci riesco. Se ho postato male o troppo confusionario etc.. fatemelo subito notare che correggo tutto subito.
Risposte
Scusa ma h per essere un endomorfismo deve andare da m a m....da come hai definito tu g e f e dalla composizione sembra che h va da m a n... forse volevi dire che f va da m a n.
scusami g va da m a n ovvero $g:RR^{m}\toRR^{n}$
grazie per la svista che avevo compiuto 
"kikkina0909":
grazie per la svista che avevo compiuto
Nulla..,pero allora h appartiene a tutti gli endomorfismi$RR^n$...ora mi spiace non posso controllare o darti una risposta perché ci devo pensare un po su e tra poco ho l'esonero di analisi( intanto magari qualche master potrebbe aiutarti) prova a ricontrollare se hai scritto tutto bene inoltre non lasciarti "guidare" dai ker e im a caso, cerca di capire cosa vuole il problema. Cioè la dimensione dell'insieme degli endomorfismi tali che etc..( mi spiace di non poterti aiutare intanto hai uppato il 3d però
)
Grazieee,ho corretto anche nel primo post ora ci penso un pò e vedo cosa esce fuori.ancora grazie
ora ci penso un pò e vedo cosa esce fuori.ancora grazie
Di nulla neanche ti ho aiutato ,si spera in un salvatore prossimo ad aiutarti!
Ps: ancora non capisco perché l'insieme è degli endomorfismi in $ RR^m$...
Ps: ancora non capisco perché l'insieme è degli endomorfismi in $ RR^m$...
il "disegno" sarebbe $R^{n}\toR^{m}\toR^{m}\toR^{n}$ e quindi la prima freccia corrisponde ad f,la seconda ad h e la terza a g,altrimenti come potresti fare la composizione che ti chiede g(h(f)) ovvero prima applichi f poi h e poi g
Sisi..scusa mi ero un attimo rimbambito ,ok 
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