Calcolo dimensione e base di un sottospazio di $End_(RR)(V)$

[f4st1]

Salve a tutti
stavo facendo un esercizio.. dove definisce un applicazione $ varphi:V rarr W $dove $V,W$ sono spazi vettorial su $RR$
ad un certo punto chiede di considerare il sottoinsieme $ theta= {psi in End_(RR)(V): varphi o psi=0} $ e $ sigma={vartheta in End_(RR)(W): vartheta o varphi=0} $
chiede di dimostrare che siano sottospazi di endomorfismi su V e W rispettivamente:
ho scritto
$ f_1,f_2 in theta $ dunque $(varphi o f_1)(v) = (varphi o f_2)(v) = 0$
$ (varphi o (f_1+ f_2))(v)=varphi o [(f_1(v)+ f_2(v))]=varphi [(f_1(v)+ f_2(v))]=varphi [f_1(v)]+ varphi[f_2(v)]=0+0=0 $
e analogamente per il prodotto per uno scalare insomma $theta$ è un sottospazio di $End_(RR)(V)$
ora mi si chiede di calcolarne la dimensione e una base di $theta$ e $sigma$. Intanto per quanto riguarda $theta$ Cercavo di prendere $f_1, f_2 in theta$
e vedere se potevano essere linearmente indipendenti..$ alpha f_1 + beta f_2=0$ implica ke i coef. siano nulli
ma non so proprio come calcolare una base e dimensione.. non ho idee.
(se serve anche com'è definita $varphi$ posto! )
mi aiutate per favore?
graziee

[blackbishop13]

sì direi che serve sapere qualcosa di più su $\psi$.
$V$ e $W$ sono a dimensione finita vero?

intanto, per capire come fare, secondo me può essere utile osservare che $\psi in \theta$ se $Imm(\psi) subseteq Ker(\varphi)$
e invece $\vartheta in \sigma$ se $Imm(\varphi) subseteq Ker(\vartheta)

[f4st1]

Grazie Blackbishop13 per la risposta!!!!

Allora ho risolto il punto (a) e ho dimostrato che tali insiemi sono sottospazi di $End_(RR)(V) e End_(RR)(W)$
$ g_1, g_2 in sigma $ $ ((g_1+g_2)o varphi)(v)=(g_1+g_2)o varphi(v)=(g_1+g_2)varphi(v)=g_1(varphi(v))+g_2(varphi(v))=0+0=0 $
$ (alpha g_1 o varphi)(v)=alpha g_1( varphi(v))=alpha 0=0 $

è vero quelle inclusioni sono il punto chiave! per poter provare l'inclusioni inverse serve sicuramente il risultato della (a)
purtroppo non ho a portata di mano il foglio con la mia soluzione.. domani lo posto! è difficile che riesca venirne fuori da solo
penso che poiché conosciamo solo imm e ker di $varphi$ bisogna mettere insieme quelle conoscenze considerando le due inclusioni proposto


grazie mille!!

[f4st1]

Allora ho scritto in coordinate la definizione dell'applicazione, quindi ho scritto la matrice associata all'endomorfismo..
$ ((1,2,1,1),(1,2,-1,-1),(1,2,0,0)) $ quindi $Im(varphi)=<(1,1,1), (1,-1,0)>$ e $ker(varphi)=<(-2,1,0,0)(0,0,-1,1)>
sempre se quello che ho fatto fin'ora è corretto $Dim(ker(varphi))!=0$ ==> non è iniettiva e $dim(Im(varphi))!=3 $==> non è suriettiva

qualcuno ha un'idea su come calcolare le basi dei sottospazi di $End_(RR)(V) e End_(RR)(W)$??
ci pensato a lungo.. ma non riesco proprio a capire come fare..
vi ringrazio in anticipo!

[cirasa]

"f4st":Allora ho scritto in coordinate la definizione dell'applicazione, quindi ho scritto la matrice associata all'endomorfismo..
$ ((1,2,1,1),(1,2,-1,-1),(1,2,0,0)) $

Rispetto a quale base?

"f4st":... quindi $Im(varphi)=<(1,1,1), (1,-1,0)>$ e $ker(varphi)=<(-2,1,0,0)(0,0,-1,1)>

Attento. $Im(varphi)$ (risp. $ker(varphi)$) è sottospazio di $W$ (risp. $V$).
Quelle che hai scritto sono le terne (risp. quaterne) delle componenti dei vettori di una base di $Im(varphi)$ (risp. $ker(varphi)$) rispetto alla base fissata in precedenza in $W$ (risp. $V$).
Attento a non confondere vettori e $n$-uple di componenti!
Scrivi nel modo corretto una base di $Im(varphi)$ ed una base di $ker(varphi)$, rispetto alle basi $(w_1,w_2,w_3)$ di $W$ e $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ di $V$.

Per la risoluzione dell'esercizio, il mio consiglio è cercare di capire come è fatta la matrice associata ad una generica applicazione in $theta$. Il trucco è calcolare tale matrice rispetto ad una base "buona"

[f4st1]

Grazie Cirasa! mi hai fatto aprire gli occhi!
utilizzando la linearità e "spezzando" le somme definite nel punto a)
$\{(varphi(v_1)+varphi(v_2)+varphi(v_3)+varphi(v_4)=w_1+w_2+w_3),(varphi(v_1)+varphi(v_2)+varphi(v_3)+varphi(v_4)=w_1+w_2+w_3),(varphi(v_1)+varphi(v_2)=w_1-w_2),(varphi(v_1)-varphi(v_2)=w_1-w_2):}
da cui ricavo la matrice rispetto alla base $B=(v_1,v_2v_3,v_4) $ di V e$ B'=(w_1,w_2,w_3)$ di W
$ M_(varphi,B)^(B')=[(1,0,1,-1),(-1,0,3,-1),(0,0,2,3)] $
Dunque dunque $Im(varphi)=<(1,-1,0) (0,2,1) (0,0,1)> $e $ker(varphi)=<(0,1,0,0)>$

ora stavo pensando alle tue parole "capire come è fatta la matrice associata ad una generica applicazione in$theta$ ."
Ma in $theta$ "vivono" delle applicazioni.. quindi penso che fissato un generico applicazione $f_theta in theta$ bisogna calcolare i vettori immagini di una base $B_theta=$ di $theta$ cioè tipo $ f_theta(g_i)$ che mi sembra senza senso..
stiamo cercando proprio a base $B_theta$ (so di sbagliare! voglio capire dove!)

poi penso che visto che è possibile la composizione $varphi o f_theta$ e poiché $varphi:V->W $
$dim(Im(f_theta))=dim(V)$mentre la dimensione del dominio di $f_theta$ è un numero intero positivo $r$ arbitrario con $r!=0$

mi servirebbe qualche altro indizio!!

[cirasa]

"f4st":
utilizzando la linearità e "spezzando" le somme definite nel punto a)
$\{(varphi(v_1)+varphi(v_2)+varphi(v_3)+varphi(v_4)=w_1+w_2+w_3),(varphi(v_1)+varphi(v_2)+varphi(v_3)+varphi(v_4)=w_1+w_2+w_3),(varphi(v_1)+varphi(v_2)=w_1-w_2),(varphi(v_1)-varphi(v_2)=w_1-w_2):}$

C'è un errore al secondo rigo, probabilmente di battitura, la seconda condizione dovrebbe essere un'altra.

"f4st":da cui ricavo la matrice rispetto alla base $B=(v_1,v_2v_3,v_4) $ di V e$ B'=(w_1,w_2,w_3)$ di W
$ M_(varphi,B)^(B')=[(1,0,1,-1),(-1,0,3,-1),(0,0,2,3)] $
Dunque dunque $Im(varphi)=<(1,-1,0) (0,2,1) (0,0,1)> $e $ker(varphi)=<(0,1,0,0)>$

Si dovrebbe scrivere $Im(varphi)= $ e $ker(varphi)=$.
[Ricordati che $Im(varphi)\subset W$ e quindi non è formato da terne. Quelle sono le componenti dei vettori e non i vettori.
Analogamente $ker(varphi)\subset V$]
Non ho controllato i conti. Comunque, per questioni di rango, ho l'impressione che siano sbagliati.
Puoi controllare per favore?

Poi eventualmente andremo avanti.