Calcolo di una base
Salve a tutti,
è un po' che vi seguo in quanto devo dare un esame di Algebra Lineare.
Riassumendo la mia situazione: mi sembra arabo
Ci rido per non piangere.
Allora io mi son studiato un po' la teoria: vettori, spazi, sottospazi, generatori, ind. lineare, span, ker, bla bla
non ho ancora fatto la diagonalizzazione, determinante, autovalori, autovettori e sicuramente altri argomenti, prima di affrontarli volevo provare a vedere se riuscivo a fare qualche esercizio abbastanza semplice. Inutile dire che non ci riesco, ma non so proprio come partire il che mi fa pensare che non c'ho capito na mazza.
Nel thread di Algebra lineare for dummies alla fine del paragrafo che parla dellla somma e intersezione di sottospazi c'è questo semplice esempio:
A me non riesce neanche fare queste, non so da dove partire... Cosa devo andarmi a rivedere per riuscire a calcolare le basi?
è un po' che vi seguo in quanto devo dare un esame di Algebra Lineare.
Riassumendo la mia situazione: mi sembra arabo
Ci rido per non piangere.Allora io mi son studiato un po' la teoria: vettori, spazi, sottospazi, generatori, ind. lineare, span, ker, bla bla
non ho ancora fatto la diagonalizzazione, determinante, autovalori, autovettori e sicuramente altri argomenti, prima di affrontarli volevo provare a vedere se riuscivo a fare qualche esercizio abbastanza semplice. Inutile dire che non ci riesco, ma non so proprio come partire il che mi fa pensare che non c'ho capito na mazza.
Nel thread di Algebra lineare for dummies alla fine del paragrafo che parla dellla somma e intersezione di sottospazi c'è questo semplice esempio:
dati i sottospazi di $RR^3$ $V=\{(x,y,z)":"x+y-z=0\}$ e $W=\{(x,y,z)":"x-y=0\}$, si trova che una base di $V$ è $B_V=\{(-1,1,0),(1,0,1)\}$, mentre una base di $W$ è $B_W=\{(1,1,0),(0,0,1)\}$. Questi calcoli in genere si sanno fare.
A me non riesce neanche fare queste, non so da dove partire... Cosa devo andarmi a rivedere per riuscire a calcolare le basi?
Risposte
Per calcolare i vettori che costituiscono la base dello uno spazio nullo di un sistema si pone di volta in volta una variabile libera uguale a 1 e le altre a 0, per esempio per $V$:
$z=1,y=0 => \mathbf{x}=(x,y,z)=(1,0,1)$ e $y=1,z=0 => \mathbf{x}=(-1,1,0)$ e quindi (uso una matrice 1×3 per i coefficienti) \(\begin{pmatrix}1&1&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}=0 \iff \mathbf{x}=s(1,0,1)+t(-1,1,0)\).
Ovviamente vale per arbitrari sistemi $m×n$.
Ciao!
$z=1,y=0 => \mathbf{x}=(x,y,z)=(1,0,1)$ e $y=1,z=0 => \mathbf{x}=(-1,1,0)$ e quindi (uso una matrice 1×3 per i coefficienti) \(\begin{pmatrix}1&1&-1\end{pmatrix}\mathbf{x}=0 \iff \mathbf{x}=s(1,0,1)+t(-1,1,0)\).
Ovviamente vale per arbitrari sistemi $m×n$.
Ciao!
Chiarissimo! Ed è pure talmente semplice la soluzione che potrei gettarmi di sotto dalla finestra per averci perso una giornata 
Grazie!
Grazie!
Non so se devo aprire un altro topic oppure posso postare qui un altro esercizio, bene o male riguarda sempre le basi.
Questo ho provato a risolverlo, non so se ho fatto tutto correttamente, specie l'ultimo punto.
Data l'applicazione lineare \(\displaystyle \text{L : } \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) definita da:
\(\displaystyle \text{L } ( \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2a+4c\\b+2c\\a+b+4c\end{pmatrix}\)
1) Scrivere la matrice associata a L rispetto alla base standard di \(\mathbb{R}^3 \) (in partenza e in arrivo)
2) Trovare una base di Imm L e una base di Ker L
1] credo sia abbastanza immediato in quanto con le basi canoniche si tratta solo di riscrivere i coefficienti dei polinomi e quindi:
\(\begin{pmatrix}2&0&4\\0&1&2\\1&1&4 \end{pmatrix} \)
2]
base Ker L applico la definizione di Ker, ovvero data la matrice associata, la moltiplico per un vettore \(\text{v} = \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} \) e eguaglio tutto a \(\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\), quindi imposto il sistema:
\(\begin{cases}2a+4c=0\\b+2c=0\\a+b+4c=0\end{cases}\)
lo risolvo: \(\text{c} \begin{pmatrix}-2\\-2\\1 \end{pmatrix} \)
e quindi \(\begin{pmatrix}-2\\-2\\1 \end{pmatrix} \) è una base Ker L
su base Imm L ho dei dubbi/problemi so già che i 3 vettori
\(\begin{pmatrix}2\\0\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\\2\\4 \end{pmatrix}\)
generano Imm L, però se non ho fatto male i conti non sono linearmente indipendenti. Lo sono però a due a due, posso quindi escluderne 1 e farne degli altri due una base di Imm L?
Questo ho provato a risolverlo, non so se ho fatto tutto correttamente, specie l'ultimo punto.
Data l'applicazione lineare \(\displaystyle \text{L : } \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) definita da:
\(\displaystyle \text{L } ( \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2a+4c\\b+2c\\a+b+4c\end{pmatrix}\)
1) Scrivere la matrice associata a L rispetto alla base standard di \(\mathbb{R}^3 \) (in partenza e in arrivo)
2) Trovare una base di Imm L e una base di Ker L
1] credo sia abbastanza immediato in quanto con le basi canoniche si tratta solo di riscrivere i coefficienti dei polinomi e quindi:
\(\begin{pmatrix}2&0&4\\0&1&2\\1&1&4 \end{pmatrix} \)
2]
base Ker L applico la definizione di Ker, ovvero data la matrice associata, la moltiplico per un vettore \(\text{v} = \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} \) e eguaglio tutto a \(\begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\), quindi imposto il sistema:
\(\begin{cases}2a+4c=0\\b+2c=0\\a+b+4c=0\end{cases}\)
lo risolvo: \(\text{c} \begin{pmatrix}-2\\-2\\1 \end{pmatrix} \)
e quindi \(\begin{pmatrix}-2\\-2\\1 \end{pmatrix} \) è una base Ker L
su base Imm L ho dei dubbi/problemi so già che i 3 vettori
\(\begin{pmatrix}2\\0\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\\2\\4 \end{pmatrix}\)
generano Imm L, però se non ho fatto male i conti non sono linearmente indipendenti. Lo sono però a due a due, posso quindi escluderne 1 e farne degli altri due una base di Imm L?
Mi sembra tutto giusto per quanto riguarda matrice e base del nucleo.
Anche a me risultano linearmente dipendenti, ma i vettori che si scelgono per base devono essere linearmente indipendenti e due a caso non è detto che lo siano, anche se in questo caso le coppie ${(2,0,1),(0,1,1)}$ e ${(2,0,1),(4,2,2)}$ e ${(4,2,2),(0,1,1)}$ si dà il caso che lo sono*. Che $(2,0,1)$ e $(0,1,1)$ sono indipendenti si vede subito dalla seconda riga: se
\(a\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\mathbf{0}\)
per annullare la seconda riga $b$ deve essere nullo e, se $b=0$, per annullare qualunque delle altre righe $a$ deve essere anch'esso 0, quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
Personalmente trovo l'individuazione di questo tipo di "scalette di zeri" utilissime per capire alla prima occhiata se due vettori in $K^n$ sono indipendenti...
Che ${(2,0,1),(4,2,2)}$ e ${(4,2,2),(0,1,1)}$ sono anch'essi insiemi di vettori indipendenti me ne sono accorto guardando i determinanti delle matricette quadrate che puoi estrarre dalle righe di questi vettori colonna: se almeno uno di essi non è nullo i coefficienti che azzerano la riga ottenuta sommando multipli dei vettori in questione sono necessariamente tutti nulli, quindi i vettori sono indipendenti. Per esempio per la seconda coppia
\(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\\2&1 \end{pmatrix}\) ha \(\det\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\end{pmatrix}=4\) quindi per avere
\(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}\) devi avere \((a,b)=(0,0)\) e conseguentemente pure perché sia \(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\\2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}\) deve naturalmente essere \((a,b)=(0,0)\).
"raker":
generano Imm L, però se non ho fatto male i conti non sono linearmente indipendenti. Lo sono però a due a due, posso quindi escluderne 1 e farne degli altri due una base di Imm L?
Anche a me risultano linearmente dipendenti, ma i vettori che si scelgono per base devono essere linearmente indipendenti e due a caso non è detto che lo siano, anche se in questo caso le coppie ${(2,0,1),(0,1,1)}$ e ${(2,0,1),(4,2,2)}$ e ${(4,2,2),(0,1,1)}$ si dà il caso che lo sono*. Che $(2,0,1)$ e $(0,1,1)$ sono indipendenti si vede subito dalla seconda riga: se
\(a\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\mathbf{0}\)
per annullare la seconda riga $b$ deve essere nullo e, se $b=0$, per annullare qualunque delle altre righe $a$ deve essere anch'esso 0, quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
Personalmente trovo l'individuazione di questo tipo di "scalette di zeri" utilissime per capire alla prima occhiata se due vettori in $K^n$ sono indipendenti...
Che ${(2,0,1),(4,2,2)}$ e ${(4,2,2),(0,1,1)}$ sono anch'essi insiemi di vettori indipendenti me ne sono accorto guardando i determinanti delle matricette quadrate che puoi estrarre dalle righe di questi vettori colonna: se almeno uno di essi non è nullo i coefficienti che azzerano la riga ottenuta sommando multipli dei vettori in questione sono necessariamente tutti nulli, quindi i vettori sono indipendenti. Per esempio per la seconda coppia
\(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\\2&1 \end{pmatrix}\) ha \(\det\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\end{pmatrix}=4\) quindi per avere
\(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}\) devi avere \((a,b)=(0,0)\) e conseguentemente pure perché sia \(\begin{pmatrix} 4&0\\2&1\\2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}\) deve naturalmente essere \((a,b)=(0,0)\).
scusa il ritardo, ma ho fatto una miriade di esercizi in questi giorni e mi son dimenticato di ricontrollare il topic!
Comunque chiaramente non avrei scelto 2 vettori a caso, ho controllato e visto che a due a due erano lin. ind.
il discorso del determinante non me lo ricordavo! grazie mille!
Comunque chiaramente non avrei scelto 2 vettori a caso, ho controllato e visto che a due a due erano lin. ind.
il discorso del determinante non me lo ricordavo! grazie mille!
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