Calcolo di Ker(T) e ImT di un'applicazione lineare
Salve a tutti. Mi sono soffermato su questo esercizio. Praticamente ho un'applicazione lineare definita così:$T:Prarr P^2$. P sta per lo spazio dei polinomi, quindi stiamo parlando di tutti i polinomi di primo e secondo grado. Ora mi chiedo come calcolare immagine e nucleo di quest'applicazione e in generale sia che abbia polinomi o funzioni, come calcolare esattamente il $Ker(T)$ e $ImT$. Il $Ker(T)={0}$ sarebbe il calcolo dell'insieme degli elementi neutri ma esattamente cosa devo mettere uguale all'elemento neutro? E come faccio a trovare l'immagine se non ho altri dati? Grazie a chi risponderà.
Da quel che ho capito posso solo dire che devo prendere un polinomio generico $P(x)=a+bx$ e poi forse da qui dovrei trovare il Ker(T) giusto?
Da quel che ho capito posso solo dire che devo prendere un polinomio generico $P(x)=a+bx$ e poi forse da qui dovrei trovare il Ker(T) giusto?
Risposte
Va bene l'idea di partire con un generico polinomio.
Occhio però che dire $ker(T)={0}$ indica che l'unico elemento che va a $0$ è lo $0$ è pertanto $T$ è iniettiva.
Invece $ker(T)={p in P| T(p)=0}$ Questa è la definizione di nucleo, nel tuo caso.
SI tratta di tutti gli elementi di $P$ che vengono mappati in $0_{P^2}$. Dove con $p$ intendo un elemento dello spazio di partenza $P[X]$.
Una volta determinato nucleo e dimensione di esso, applichi il teorema delle dimensioni (o nullità più rango), per trovare la dimensione dell'immagine e una sua base.
E' un procedimento abbastanza generale.
P.S: Ma di $T$ sai solo che va da $P rightarrow P^2$ ? Non dice nient'altro il testo?
Occhio però che dire $ker(T)={0}$ indica che l'unico elemento che va a $0$ è lo $0$ è pertanto $T$ è iniettiva.
Invece $ker(T)={p in P| T(p)=0}$ Questa è la definizione di nucleo, nel tuo caso.
SI tratta di tutti gli elementi di $P$ che vengono mappati in $0_{P^2}$. Dove con $p$ intendo un elemento dello spazio di partenza $P[X]$.
Una volta determinato nucleo e dimensione di esso, applichi il teorema delle dimensioni (o nullità più rango), per trovare la dimensione dell'immagine e una sua base.
E' un procedimento abbastanza generale.
P.S: Ma di $T$ sai solo che va da $P rightarrow P^2$ ? Non dice nient'altro il testo?
Aah Grazie. No per il momento no. Hai ragione sul Kernel, sto cominciando a capire. Quindi devo mettere il mio $P(x)=0$?
Esatto.
quindi:
$P(x)=0$
$ax+b=0$
$x=-b/a$
Quindi tutti quei numeri che sono $-b/a$ fanno parte del nucleo vero? Il $Ker(T)=-b/a$?
$P(x)=0$
$ax+b=0$
$x=-b/a$
Quindi tutti quei numeri che sono $-b/a$ fanno parte del nucleo vero? Il $Ker(T)=-b/a$?
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