Calcolo di Autovalori e Autovettori
Si consideri la matrice A=
2 1 −1 −1
1 3 −1 −1
0 1 1 −1
1 1 −1 0
(a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.
(b) Se fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di riferimento di autovettori.
Non riesco a trovare le radici del polinomio caratteristico...possibile mi venga una cosa di questo genere $(t-2)(t^3 - 3t^2 +4t -1)$???
Sono abbastanza disperato...chiunque possa aiutarmi sarà ringraziato a vita
2 1 −1 −1
1 3 −1 −1
0 1 1 −1
1 1 −1 0
(a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.
(b) Se fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di riferimento di autovettori.
Non riesco a trovare le radici del polinomio caratteristico...possibile mi venga una cosa di questo genere $(t-2)(t^3 - 3t^2 +4t -1)$???
Sono abbastanza disperato...chiunque possa aiutarmi sarà ringraziato a vita
Risposte
si è vero misanino 
però il mio grande dubbio è sempre sul calcolare le dipendenze con a e b.
potresti aiutarmi a riguardo? sto cercando su libri, sul web, ma niente di niente
però il mio grande dubbio è sempre sul calcolare le dipendenze con a e b.
potresti aiutarmi a riguardo? sto cercando su libri, sul web, ma niente di niente
"Marshal87":
si è vero misanino
però il mio grande dubbio è sempre sul calcolare le dipendenze con a e b.
potresti aiutarmi a riguardo? sto cercando su libri, sul web, ma niente di niente
Spiegati meglio.
Cosa vuol dire calcolare le dipendenze con a e b?
Intendi dire se invece che venirti autovalori numerici ti venivano autovalori dipendenti da a o da b?
si scusa misanino mi sono spiegato molto male io...
praticamente qualche pagina fa c'era questo esercizio:
data la matrice:
$((2,-3,0,0),(1,-2,a,b),(0,0,-2,-5),(0,0,1,4))$
calcolare i suoi autovalori e dire per quali dei parametri a,b la funzione lineare fA è diagonalizzabile
Allora, io mi trovo che il polinomio caratteristico è $(t^2 - 1)·(t^2 - 2·t - 3)$
Le radici e quindi gli autovalori sono 1,-1,3
Sapendo che la matrice è diagonalizzabile se tutte le sue radici reali hanno molteplicità geometria uguale a quella algebrica, questi a e b, che non compaiono neanche nel polinomio caratteristico, come li trovo?
Io avrei risposto dicendo semplicemente che non comparendo nel polinomio, non influenzano le radici, quindi dato che siamo in $RR^4$ per ogni a e b va bene qualsiasi valore $in RR$. Sbaglio?
praticamente qualche pagina fa c'era questo esercizio:
data la matrice:
$((2,-3,0,0),(1,-2,a,b),(0,0,-2,-5),(0,0,1,4))$
calcolare i suoi autovalori e dire per quali dei parametri a,b la funzione lineare fA è diagonalizzabile
Allora, io mi trovo che il polinomio caratteristico è $(t^2 - 1)·(t^2 - 2·t - 3)$
Le radici e quindi gli autovalori sono 1,-1,3
Sapendo che la matrice è diagonalizzabile se tutte le sue radici reali hanno molteplicità geometria uguale a quella algebrica, questi a e b, che non compaiono neanche nel polinomio caratteristico, come li trovo?
Io avrei risposto dicendo semplicemente che non comparendo nel polinomio, non influenzano le radici, quindi dato che siamo in $RR^4$ per ogni a e b va bene qualsiasi valore $in RR$. Sbaglio?
Io ho dato questa risposta all'esercizio...
Ora mi trovo di fronte a un altro problema sempre riguardante ciò...
Io ho una matrice A =
$ ( ( 2-t , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2-t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 6-t , c ),( 0 , 0 , c , -2-t ) ) $
Le radici del polinomio caratteristico $(t - 6)(t + 2)(-t^2 +4t -5) - c^2 (t^2 - 4t + 5)$ quindi ho due radici reali e due complesse -> non è diagonalizzabile...
Ora l'esercizio mi chiede:
(a) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente due autovalori distinti. (per c=0)
(b) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente tre autovalori. (non si avranno mai tre autovalori distinti)
(c) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA è diagonalizzabile (la matrice non è diagonalizzabile per nessun valore di c perchè si hanno due radici complesse e due reali).
(d) Quando fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori (questo punto non esiste giusto? perchè sono falsi i precedenti...)
Ora mi trovo di fronte a un altro problema sempre riguardante ciò...
Io ho una matrice A =
$ ( ( 2-t , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2-t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 6-t , c ),( 0 , 0 , c , -2-t ) ) $
Le radici del polinomio caratteristico $(t - 6)(t + 2)(-t^2 +4t -5) - c^2 (t^2 - 4t + 5)$ quindi ho due radici reali e due complesse -> non è diagonalizzabile...
Ora l'esercizio mi chiede:
(a) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente due autovalori distinti. (per c=0)
(b) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente tre autovalori. (non si avranno mai tre autovalori distinti)
(c) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA è diagonalizzabile (la matrice non è diagonalizzabile per nessun valore di c perchè si hanno due radici complesse e due reali).
(d) Quando fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori (questo punto non esiste giusto? perchè sono falsi i precedenti...)
"Marshal87":
Le radici e quindi gli autovalori sono 1,-1,3
Sapendo che la matrice è diagonalizzabile se tutte le sue radici reali hanno molteplicità geometria uguale a quella algebrica, questi a e b, che non compaiono neanche nel polinomio caratteristico, come li trovo?
Io avrei risposto dicendo semplicemente che non comparendo nel polinomio, non influenzano le radici, quindi dato che siamo in $RR^4$ per ogni a e b va bene qualsiasi valore $in RR$. Sbaglio?
Diciamo che di fatto ci sei...
Allora a e b non compaiono nel polinomio caratteristico, perciò qualsiasi siano i valori di a e b la matrice ha sempre gli stessi autovalori.
Ora, come giustamente dici tu devi verificare se la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con quella geometrica.
Se vale ciò dirai che la matrice è diagonalizzabile (e non trovando condizioni su a e b) lo sarà per ogni a e b.
Se non vale ciò allora la matrice non sarà diagonalizzabile per nessun a e b.
"misanino":
Diciamo che di fatto ci sei...
Allora a e b non compaiono nel polinomio caratteristico, perciò qualsiasi siano i valori di a e b la matrice ha sempre gli stessi autovalori.
Ora, come giustamente dici tu devi verificare se la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con quella geometrica.
Se vale ciò dirai che la matrice è diagonalizzabile (e non trovando condizioni su a e b) lo sarà per ogni a e b.
Se non vale ciò allora la matrice non sarà diagonalizzabile per nessun a e b.
Grazie mille misanino sei sempre chiaro e gentilissimo, se passo st'esame ti offro una pizza !
riguardo questo:
"geolyth":
(d) Quando fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori (questo punto non esiste giusto? perchè sono falsi i precedenti...)
Non sono molto daccordo, in realtà credo che il prof voglia dire: mettimi la matrice in modo tale da poterla diagonalizzare, e poi calcolare la matrice associata.
Chi sta sbagliando?
Grazie mille
"geolyth":
Io ho dato questa risposta all'esercizio...
Ora mi trovo di fronte a un altro problema sempre riguardante ciò...
Io ho una matrice A =
$ ( ( 2-t , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2-t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 6-t , c ),( 0 , 0 , c , -2-t ) ) $
Le radici del polinomio caratteristico $(t - 6)(t + 2)(-t^2 +4t -5) - c^2 (t^2 - 4t + 5)$ quindi ho due radici reali e due complesse -> non è diagonalizzabile...
Ora l'esercizio mi chiede:
(a) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente due autovalori distinti. (per c=0)
(b) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente tre autovalori. (non si avranno mai tre autovalori distinti)
(c) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA è diagonalizzabile (la matrice non è diagonalizzabile per nessun valore di c perchè si hanno due radici complesse e due reali).
(d) Quando fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori (questo punto non esiste giusto? perchè sono falsi i precedenti...)
Direi che ci sono un po' di errori.
Prima di tutto credo che ci sia un segno meno sbagliato nel polinomio caratteristico, cioe' che esso sia:
$(6-t)(t + 2)(-t^2 +4t -5) - c^2 (t^2 - 4t + 5)$
Ora devi risolvere cio' rispetto a t e quindi trovi 2 radici complesse (da $t^2 - 4t + 5$) e 2 radici che dipendono da c (da $(6-t)(t + 2)+c^2$)
Quindi sicuramente e' sbagliato il punto a perche' se c=0 trovi i 2 autovalori complessi e trovi t=6 e t=-2 e quindi hai 4 autovalori distinti!!
ottimo allora è proprio l'esercizio errato =)
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