Calcolo di Autovalori e Autovettori
Si consideri la matrice A=
2 1 −1 −1
1 3 −1 −1
0 1 1 −1
1 1 −1 0
(a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.
(b) Se fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di riferimento di autovettori.
Non riesco a trovare le radici del polinomio caratteristico...possibile mi venga una cosa di questo genere $(t-2)(t^3 - 3t^2 +4t -1)$???
Sono abbastanza disperato...chiunque possa aiutarmi sarà ringraziato a vita
2 1 −1 −1
1 3 −1 −1
0 1 1 −1
1 1 −1 0
(a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.
(b) Se fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di riferimento di autovettori.
Non riesco a trovare le radici del polinomio caratteristico...possibile mi venga una cosa di questo genere $(t-2)(t^3 - 3t^2 +4t -1)$???
Sono abbastanza disperato...chiunque possa aiutarmi sarà ringraziato a vita
Risposte
"geolyth":
Si consideri la matrice A=
2 1 −1 −1
1 3 −1 −1
0 1 1 −1
1 1 −1 0
(a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.
(b) Se fA è diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di riferimento di autovettori.
Non riesco a trovare le radici del polinomio caratteristico...possibile mi venga una cosa di questo genere $(t-2)(t^3 - 3t^2 +4t -1)$???
Sono abbastanza disperato...chiunque possa aiutarmi sarà ringraziato a vita
Scrivi i calcoli che hai fatto per arrivare a quell'espressione del polinomio caratteristico e io li controllo
Nessuno mi aiuta con i calcoli sto impazzendo...
Non capisco come mi esca quel risultato...ho svolto il polinomio caratteristico...ma niente...nessun volenteroso che mi aiuta con questa grana?
Non capisco come mi esca quel risultato...ho svolto il polinomio caratteristico...ma niente...nessun volenteroso che mi aiuta con questa grana?
oki grazie provvedo subito =)
Come posso scrivere le matrici in modo ordinato?
Comunque ti scrivo come riesco:
$ | ( 2-t , 1 , -1 , -1 ),( 1 , 3-t , -1 , -1 ),( 0 , 1 , 1-t , -1 ),( 1 , 1 , -1 , -t ) | $
=
(2-t) * $ | ( 3-t , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $ - $ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $ - $ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $
=
(2-t) * ( (3-t) * $ | ( 1-t , -1 ),( -1 , -t )| $ - $ | ( -1 , -1 ),( -1 , -t )| $ + $ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $) - ( - $ | ( 1 , 1-t ),( 1 , -1 )| $ + $ | ( 1 , -1 ),( 1 , -1 )| $ - t $ | ( 1 , -1 ),( 1 , 1-t )| $) - ($ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $ - (3-t) * $ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $ + $ | ( -1 , -1 ),( -1 , -1 )| $)
=
Svolgendo poi tutti i prodotti e i determinanti mi trovo così $(t-2)(t^3-3t^2+4t-1)$
Comunque ti scrivo come riesco:
$ | ( 2-t , 1 , -1 , -1 ),( 1 , 3-t , -1 , -1 ),( 0 , 1 , 1-t , -1 ),( 1 , 1 , -1 , -t ) | $
=
(2-t) * $ | ( 3-t , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $ - $ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $ - $ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , 1-t , -1 ),( 1 , -1 , -t )| $
=
(2-t) * ( (3-t) * $ | ( 1-t , -1 ),( -1 , -t )| $ - $ | ( -1 , -1 ),( -1 , -t )| $ + $ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $) - ( - $ | ( 1 , 1-t ),( 1 , -1 )| $ + $ | ( 1 , -1 ),( 1 , -1 )| $ - t $ | ( 1 , -1 ),( 1 , 1-t )| $) - ($ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $ - (3-t) * $ | ( -1 , -1 ),( 1-t , -1 )| $ + $ | ( -1 , -1 ),( -1 , -1 )| $)
=
Svolgendo poi tutti i prodotti e i determinanti mi trovo così $(t-2)(t^3-3t^2+4t-1)$
A me dai calcoli viene:
$(t-2)(t^3-4t^2+4t-1)$
e quindi puoi andare avanti a scomporre
$(t-2)(t^3-4t^2+4t-1)$
e quindi puoi andare avanti a scomporre
mi sai dire dove ho commesso errore di calcolo oppure se c'è un altro metodo per non andare a svolgere Ruffini?
Comunque con il risultato che viene a te ed eseguendo nuovamente Ruffini mi trovo così:
$(t-2)(t-1)(t^2-3t+1)$
mi vengono come radici: ma(1)=1; ma(2)=1; ma(3+sqrt(5)/2)=1; ma(3-sqrt(5)/2)=1
le prime due mi vanno bene per calcolare gli autovettori ma con le altre due come faccio?
Comunque con il risultato che viene a te ed eseguendo nuovamente Ruffini mi trovo così:
$(t-2)(t-1)(t^2-3t+1)$
mi vengono come radici: ma(1)=1; ma(2)=1; ma(3+sqrt(5)/2)=1; ma(3-sqrt(5)/2)=1
le prime due mi vanno bene per calcolare gli autovettori ma con le altre due come faccio?
"geolyth":
mi sai dire dove ho commesso errore di calcolo oppure se c'è un altro metodo per non andare a svolgere Ruffini?
Comunque con il risultato che viene a te ed eseguendo nuovamente Ruffini mi trovo così:
$(t-2)(t-1)(t^2-3t+1)$
mi vengono come radici: ma(1)=1; ma(2)=1; ma(3+sqrt(5)/2)=1; ma(3-sqrt(5)/2)=1
le prime due mi vanno bene per calcolare gli autovettori ma con le altre due come faccio?
Va benissimo svolgere Ruffini e credo che tu l'errore l'abbia commesso da qualche parte nel calcolo del determinante.
Però non ho voglia di andare a ricontrollarti tutti i calcoli. Se vuoi pensaci tu ora che sai il risultato corretto.
Per quanto riguarda il calcolo degli autovettori, lo puoi fare anche con gli ultimi 2 autovalori che hai trovato.
Certo che i calcoli diventano brutti e sempre più difficili.
In effetti questo mi sembra un esercizio in cui è più difficile fare i calcoli piuttosto che capire il concetto.
Sei sicuro di aver copiato giusto il testo?
Comunque ciò che conta è che il procedimento ti sia chiaro e mi sembra che questo sia vero
Ok il procedimento mi è abbastanza chiaro, una volta trovati gli autovalori poi li sostituisco nelle matrici con il polinomio caratteristico e trovo gli autovettori risolvendo i sistemi omogenei giusto?
Ho gli ultimi due quesiti da porti (e ti ringrazio per la pazienza...)
Se ho questa matrice
2 -3 0 0
1 -2 a b
0 0 -2 -5
0 0 1 4
Una volta fatto il determinante come faccio a stabilire per quali autovalori della matrice essa è diagonalizzabile?
E se invece ho questa?
2 1 0 0
−1 2 0 0
0 0 6 c
0 0 c −2
(a) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente due autovalori
distinti.
(b) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente tre autovalori.
(c) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA `e diagonalizzabile.
(d) Quando fA `e diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori.
Che devo impostare?
Ho gli ultimi due quesiti da porti (e ti ringrazio per la pazienza...)
Se ho questa matrice
2 -3 0 0
1 -2 a b
0 0 -2 -5
0 0 1 4
Una volta fatto il determinante come faccio a stabilire per quali autovalori della matrice essa è diagonalizzabile?
E se invece ho questa?
2 1 0 0
−1 2 0 0
0 0 6 c
0 0 c −2
(a) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente due autovalori
distinti.
(b) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA ha esattamente tre autovalori.
(c) Dire per quali valori del parametro c l’applicazione fA `e diagonalizzabile.
(d) Quando fA `e diagonalizzabile, scrivere la matrice associata ad fA in un sistema di
riferimento di autovettori.
Che devo impostare?
"geolyth":
Ok il procedimento mi è abbastanza chiaro, una volta trovati gli autovalori poi li sostituisco nelle matrici con il polinomio caratteristico e trovo gli autovettori risolvendo i sistemi omogenei giusto?
Esattamente. Su questo sei a posto
"geolyth":
Se ho questa matrice
2 -3 0 0
1 -2 a b
0 0 -2 -5
0 0 1 4
Una volta fatto il determinante come faccio a stabilire per quali autovalori della matrice essa è diagonalizzabile?
Prima di tutto ti chiedo io: quando una matrice è diagonalizzabile?
Non dirmi quando è simile ad una matrice diagonale.
Sono sicuro che hai fatto (e se non lo hai fatto sfoglia il libro e lo trovi di certo) un teorema che ti dice che una matrice è diagonalizzabile se e solo se succede qualcosa che coinvolge le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori...
Per quello che ho studiato io una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e quella geometrica di tutti gli autovalori sono uguali...ma non capisco ome imporlo per rispondere a quei quesiti...
Il calcolo della molteplicità algebrica lo faccio ricavando le radici del polinomio caratteristico...
Il calcolo della molteplicità geometrica lo posso fare (che io sappia) in due modi...o riducendo la matrice a gradini e trovando il rango (il numero dei pivot) oppure risolvendo il sistema e vedendo il numero di variabili libere...
Se sono uguali ma e mg per ogni autovalore allora è diagonalizzabile...
ma non so come impostare queste condizioni sia per l'esercizio della prima matrice sia per quello della seconda matrice (dove mi chiede di determinare anche i parametri per i quali ho esattamente due o tre autovalori...)
Il calcolo della molteplicità algebrica lo faccio ricavando le radici del polinomio caratteristico...
Il calcolo della molteplicità geometrica lo posso fare (che io sappia) in due modi...o riducendo la matrice a gradini e trovando il rango (il numero dei pivot) oppure risolvendo il sistema e vedendo il numero di variabili libere...
Se sono uguali ma e mg per ogni autovalore allora è diagonalizzabile...
ma non so come impostare queste condizioni sia per l'esercizio della prima matrice sia per quello della seconda matrice (dove mi chiede di determinare anche i parametri per i quali ho esattamente due o tre autovalori...)
"geolyth":
Per quello che ho studiato io una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e quella geometrica di tutti gli autovalori sono uguali...ma non capisco ome imporlo per rispondere a quei quesiti...
Il calcolo della molteplicità algebrica lo faccio ricavando le radici del polinomio caratteristico...
Il calcolo della molteplicità geometrica lo posso fare (che io sappia) in due modi...o riducendo la matrice a gradini e trovando il rango (il numero dei pivot) oppure risolvendo il sistema e vedendo il numero di variabili libere...
Se sono uguali ma e mg per ogni autovalore allora è diagonalizzabile...
ma non so come impostare queste condizioni sia per l'esercizio della prima matrice sia per quello della seconda matrice (dove mi chiede di determinare anche i parametri per i quali ho esattamente due o tre autovalori...)
Ciao,
per verificare se la matrice è diagonalizzabile io calcolo il polinomio caratteristico della matrice. dal polinomio che ne esce, mi calcolo le radici del polinomio. Le radici sono gli autovalori. Dati gli autovalori poi ti calcoli gli autospazi. (in modo da verificare se la molteplicià algebrica e geometria coincide)
Il problema sorge dopo, cioè nell'esercizio che vuole sapere per quali valori ha esattamente due o tre autovalori distinti. è lo stesso IDENTICO esercizio che sto cercando di risolvere io da due gg ma niente...l'ho preso dal prof Lunardon della Federico II.
Delle quattro domande non sono riuscito in alcun modo a rispondere e ti assicuro che ci sbatto la testa da tempo...
Qualcuno ci aiuta? eheheh
Eh si anche io delle quattro ho avuto parecchi problemi con questa di Lunardon...
Spero qualcuno ci illumini...ma comunque secondo me sono io a sbagliare il determinante...spero solo che misanino riesca a fare i conti e a farmi capire dove sta l'errore io non capisco il perchè a me le radici del polinomio caratteristico vengono tutte con al numeratore una radice e non mi semplifica i conti anzi...
"geolyth":
Per quello che ho studiato io una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e quella geometrica di tutti gli autovalori sono uguali...ma non capisco ome imporlo per rispondere a quei quesiti...
Molto bene.
E' esattamente questo il teorema a cui mi riferivo.
Per prima cosa quindi calcola gli autovalori della matrice che hai scritto (ovviamente dipenderanno da a e da b)
ciao misanino ti rispondo io in quanto abbiamo scoperto di dover fare lo stesso esame con lo stesso prof io e geolyth
Gli autovalori della matrice $((2,-3,0,0),(1,-2,a,b),(0,0,-2,-5),(0,0,1,4))$ sono 1 e 3, che sono le radici del polinomio caratteristico della matrice.
tale polinomio è $(t^2-1)(t^2-2t-3)$
In questo caso, a e b non compaiono proprio. mi verrebbe quindi da dire che gli autovalori non dipendono da a e b e che quindi la matrice è sempre diagonalizzabile (perchè la molteplicità algebrica è sempre uguale ad 1, che implica che la moltiplicità geometrica è uguale a quella algebrica)
Sbaglio?
Grazie mille
Gli autovalori della matrice $((2,-3,0,0),(1,-2,a,b),(0,0,-2,-5),(0,0,1,4))$ sono 1 e 3, che sono le radici del polinomio caratteristico della matrice.
tale polinomio è $(t^2-1)(t^2-2t-3)$
In questo caso, a e b non compaiono proprio. mi verrebbe quindi da dire che gli autovalori non dipendono da a e b e che quindi la matrice è sempre diagonalizzabile (perchè la molteplicità algebrica è sempre uguale ad 1, che implica che la moltiplicità geometrica è uguale a quella algebrica)
Sbaglio?
Grazie mille
secondo me sbaglio io a fare il determinante...Marshal mi posti il procedimento qui oppure me lo scannerizzi e me lo invii =)
"Marshal87":
ciao misanino ti rispondo io in quanto abbiamo scoperto di dover fare lo stesso esame con lo stesso prof io e geolyth
Gli autovalori della matrice $((2,-3,0,0),(1,-2,a,b),(0,0,-2,-5),(0,0,1,4))$ sono 1 e 3, che sono le radici del polinomio caratteristico della matrice.
tale polinomio è $(t^2-1)(t^2-2t-3)$
In questo caso, a e b non compaiono proprio. mi verrebbe quindi da dire che gli autovalori non dipendono da a e b e che quindi la matrice è sempre diagonalizzabile (perchè la molteplicità algebrica è sempre uguale ad 1, che implica che la moltiplicità geometrica è uguale a quella algebrica)
Sbaglio?
Grazie mille
Come puoi avere il polinomio $(t^2-1)(t^2-2t-3)$ che è di 4° grado e affermare che ci sono solo 2 radici di molteplicità algebrica 1??
Hai sbagliato a trovare le radici.
Controlla bene.
Il polinomio si annulla se $(t^2-1)=0$ e quindi se t.....
oppure se $(t^2-2t-3)=0$ e quindi se t....
In definitiva quindi trovi i valori di t .......
Quando hai trovato le radici giuste ne riparliamo
@geolyth Guarda che devi calcolare il determinante di $A-tI$ dove A è la matrice di partenza e I è la matrice identica.
Comunque ho fatto i calcoli e tale determinante viene esattamente come ha scritto Marshal87
sisi scusami misanino ma ho fatto i calcoli giusto ora e ho trovato che le radici sono:
ma(-1) = 1
ma(1) = 2
ma(3) = 1
mg(-1) = 1
mg(1) = 2
mg(3) = 1
Poichè l'autospazio V(1) viene del tipo (3y, -(a+b)/2, 0, 0) e gli altri sono verificati la matrice è diagonalizzabile...
giusto il procedimento?
Grazie misanino =)
ma(-1) = 1
ma(1) = 2
ma(3) = 1
mg(-1) = 1
mg(1) = 2
mg(3) = 1
Poichè l'autospazio V(1) viene del tipo (3y, -(a+b)/2, 0, 0) e gli altri sono verificati la matrice è diagonalizzabile...
giusto il procedimento?
Grazie misanino =)
si misanino scusami hai ragione, le radici sono ovviamente anche -3 e -1.
Quello che invece dicevo del fatto che a e b non compaiono nel polinomio è giusto? cioè che gli autovalori non dipendono da a e b?
Grazie !
Quello che invece dicevo del fatto che a e b non compaiono nel polinomio è giusto? cioè che gli autovalori non dipendono da a e b?
Grazie !
"geolyth":
sisi scusami misanino ma ho fatto i calcoli giusto ora e ho trovato che le radici sono:
ma(-1) = 1
ma(1) = 2
ma(3) = 1
mg(-1) = 1
mg(1) = 2
mg(3) = 1
Poichè l'autospazio V(1) viene del tipo (3y, -(a+b)/2, 0, 0) e gli altri sono verificati la matrice è diagonalizzabile...
giusto il procedimento?
Grazie misanino =)
C'è qualche errore
Gli autovalori, cioè le radici, sono -1,1,3.
Come dici tu 3 hanno molteplicità algebrica 1.
Il resto invece è invertito, cioè
1 ha molteplicità algebrica 1
mentre -1 ha molteplicità algebrica 2.
Affinchè la matrice sia diagonalizzabile si deve avere che anche la molteplicità geometrica di -1 sia 2, cioè che l'autospazio associato a -1 abbia dimensione 2.
Spiegami ora meglio come fai a calcolare l'autospazio relativo all'autovalore 1, così controllo se agisci correttamente...
@Marshal87 Le radici sono -1,1,-3.
Infatti $t^2-1=(t-1)(t+1)$
e $t^2-2t-3=(t+1)(t-3)$
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