Calcolo dell'immagine di una applicazione lineare

[giuggiolo1]

ciao a tutti!

ho questo esercizio:

sia
$ f: RR ^4 rarr RR ^4$

$f(x,y,z,t)=(3x-2y+z+t,-6x-2z,3x-z+t,3x-z+t) $

una applicazione lineare. Si determini:
1) una base e domensione di Im(f) e Ker(f), stabilendo se f è surgettiva e/o ingettiva;
2)se R^4 è somma diretta di Im(f)e Ker(f)

sviluppo prima il primo punto:
1)
calcolo il Ker(f): pongo il sistema AX = (0,0,0,0) cioè:
$ 3x-2y+z+t = 0$
$-6x-2z = 0$
$3x-z+t = 0$
$3x-z+t = 0 $

risolvendo ottengo che dim(Ker(f)) = 1 e Base(ker(f)) = {(0,1/2,0,1)}

per il teorema delle dimensioni dim(Im(f)) = 4-1=3

adesso devo calcolare una base di Im(f)...

è qui che non sono sicuro! per ottenere Base(Im(f)) faccio:

posto
$ Base(cc(R) ^4) = {e1, e2, e3, e4} $ la base canonica dell'insieme di partenza, trasformo questa base tramite f ottenendo 4 vettori generatori dell'insieme di arrivo,...giusto?
quindi:

$ L( (3,-6,3,3), (-2,0,0,0), (1,-2,-1,-1), (1, 0, 1, 1) ) $ è un sistema di generatori di Im (f)
calcoliamo il rango della matrice dell'immagine, in modo da sapere se ci sono vettori linearmente dipendenti da eliminare (per poter avere una base di Im(f)).

il rango viene 3 (come la dimensione di Im(f)) e una base viene
$ Base (Im (f)) = {(3,-6,3,3), (-2,0,0,0), (1,-2,1,-1)} $
con
$ Im (f) = {a(3,-6,3,3), b(-2,0,0,0), c(1,-2,1,-1) | a,b,c in RR ^4 }$

...è tutto giusto finora?

Giulio

[G.D.5]

Ho spostato nella sezione giusta.