Calcolo del nucleo di una matrice simmetrica

[the dummy]

salve a tutti,
mentre stavo facendo esercizi per l'esame di algebra mi è venuto un dubbio:
non è che per caso c'è un modo più veloce di calcolare il nucleo di una matrice (in questo caso è pure simmetrica) rispetto a quello tradizionale ?
per calcolare il nucleo della matrice in modo "tradizionale" (o almeno nell'unico modo che conosco io) so che devo:
-ridurre a scala la matrice
-moltiplicare i valori della matrice per dei coefficienti x,y,z,...
-metterli a sistema e ricavare i valori dei coefficienti
-e poi riunire i valori trovati formando così il nucleo

vi do la parte di esercizio che devo fare:

calcolare una base degli autospazi di B (con autovalori t=0 e t=3)
la matrice B è: $ ( ( 2 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , 1 ),( -1 , 1 , 2 ) ) $

per calcolare gli autospazi bisogna usare la formula $ Vt= ker(B-(t)xx In) $
e da qui in poi mi è sorto il dubbio

[feddy]

ciao,
la procedura e' sempre la solita, ossia la ricerca del $ker(B-t1_{n})$

Ma, se la matrice e' simmetrica, allora: A è simile a una matrice diagonale D (ovvero A è
diagonalizzabile). Inoltre la matrice diagonalizzante P è una matrice ortogonale (TH. SPETTRALE).
questo ci informa che sicuramente e' diagonalizzabile

[dissonance]

"feddy":
Ma, se la matrice e' simmetrica, allora: A è simile a una matrice diagonale D (ovvero A è
diagonalizzabile). Inoltre la matrice diagonalizzante P è una matrice ortogonale (TH. SPETTRALE).
questo ci informa che sicuramente e' diagonalizzabile

Il teorema è quello, ma più che altro, per rispondere alla domanda dell'OP, il fatto che la matrice è simmetrica può aiutare nel calcolo esplicito degli autospazi perché questi sono tra loro ortogonali. Quindi, per matrici di taglia $n$, una volta trovati $n-1$ autovettori (contati con la loro molteplicità) uno può pure prenderne il complemento ortogonale ed è sicuro che il vettore trovato è l'ultimo autovettore.