Calcolo del fuoco di una parabola
Ciao a tutti, ho questa conica : $x^2 + 2xy + y^2 + 2x + y -5= 0$ e mi si chiede di calcolare il fuoco senza la riduzione a forma canonica. Mi è stato detto di trovare le tangenti per i punti ciclici, così che la secante passante per i punti di tangenza costituisca la polare del fuoco ma non so come procedere. Grazie mille
Risposte
La generica retta relativa al punto ciclico $(1,i,0)$ è :
$y=ix+k$ con $k$ costante da determinare
Facendo sistema tra detta retta e la conica ed eliminando la variabile y, si giunge all'equazione:
$2ix^2+(2k+2ki+2+i)x+(k^2+k-5)=0$
Imponendo la condizione di tangenza (ovvero ponendo a 0 il relativo discriminante) si ha:
$k=-(47+41i)/8$
Pertanto la tangente in questione ha equazione:
$y=ix-(47+41i)/8$
Cambiando $i$ in $-i$ si ha l'equazione della tangente relativa all'altro punto ciclico $(1,-i,0)$:
$y=-ix-(47-41i)/8$
Mettendo a sistema le equazioni delle tangenti così trovate si ha il punto d'intersezione che rappresenta
in definitiva il fuoco F della parabola:
$F(41/8,-47/8)$
$y=ix+k$ con $k$ costante da determinare
Facendo sistema tra detta retta e la conica ed eliminando la variabile y, si giunge all'equazione:
$2ix^2+(2k+2ki+2+i)x+(k^2+k-5)=0$
Imponendo la condizione di tangenza (ovvero ponendo a 0 il relativo discriminante) si ha:
$k=-(47+41i)/8$
Pertanto la tangente in questione ha equazione:
$y=ix-(47+41i)/8$
Cambiando $i$ in $-i$ si ha l'equazione della tangente relativa all'altro punto ciclico $(1,-i,0)$:
$y=-ix-(47-41i)/8$
Mettendo a sistema le equazioni delle tangenti così trovate si ha il punto d'intersezione che rappresenta
in definitiva il fuoco F della parabola:
$F(41/8,-47/8)$
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