Calcolo baricentro
Ragazzi, sto baricentro proprio non mi riesce
dice disegnare il dominio $D={(x,y) y>=-x+1, y>=x-1, x^2+y^2-2x<=0}$ e determinare le coordinate del suo baricentro.
Allora abbiamo una circonferenza con centro in (1,0) e raggio 1 con due rette che passano proprio per il centro. Allora se ho ben capito l'area in questione non dovrebbe essere l'angolo compreso tra 315° e 45°, quindi $m(D)$ non dovrebbe essere= $pi/2$?
Io davvero non so poi ho cercato di calcolarmi le delimitazioni di questo dominio sviluppando la x e y in funzione di $rho$ e $theta$ ma secondo me sono uscite cose da pazzi: $-1/(costhetasentheta)<=\theta<=1/(senthetacostheta)$ e $rho$ invece secondo me più normale $1<=\rho<=2$
Ma secondo voi ho fatto ben. Aspetto il vostro aiuto.Grazie
dice disegnare il dominio $D={(x,y) y>=-x+1, y>=x-1, x^2+y^2-2x<=0}$ e determinare le coordinate del suo baricentro.
Allora abbiamo una circonferenza con centro in (1,0) e raggio 1 con due rette che passano proprio per il centro. Allora se ho ben capito l'area in questione non dovrebbe essere l'angolo compreso tra 315° e 45°, quindi $m(D)$ non dovrebbe essere= $pi/2$?
Io davvero non so poi ho cercato di calcolarmi le delimitazioni di questo dominio sviluppando la x e y in funzione di $rho$ e $theta$ ma secondo me sono uscite cose da pazzi: $-1/(costhetasentheta)<=\theta<=1/(senthetacostheta)$ e $rho$ invece secondo me più normale $1<=\rho<=2$
Ma secondo voi ho fatto ben. Aspetto il vostro aiuto.Grazie
Risposte
Non ho guardato il dominio ma l'angolo in coordinate polari, essendo l'angolo compreso tra 315° e 45°, dovrebbe essere $-pi/4 <= \theta <= pi/4$ e $0 <= \rho <= 1$. Probabilmente non hai traslato il cerchio in (0,0) prima di fare il passaggio in coordinate polari.
allora io mi trovo con quello che dici tanto il raggio vettore $rho$ è proprio 1 quindi $0<=rho<=1$
Allora però mi sono andato a trovare il baricentro:
$x_0=1/(2pi)int int x dxdy= 2/pi int_{-pi/4}^{pi/4} d\theta int_{0}^{1}rho d\rho=1/pi int_{-pi/4}^{pi/4} [rho^2]_{0}^{1} d\theta= [\theta]_{-pi/4}^{pi/4}$
Secondo me ho scritto delle cose assurde, aiutami tu, thanks
Allora però mi sono andato a trovare il baricentro:
$x_0=1/(2pi)int int x dxdy= 2/pi int_{-pi/4}^{pi/4} d\theta int_{0}^{1}rho d\rho=1/pi int_{-pi/4}^{pi/4} [rho^2]_{0}^{1} d\theta= [\theta]_{-pi/4}^{pi/4}$
Secondo me ho scritto delle cose assurde, aiutami tu, thanks
ma perchè viene $0<=\rho<=1$? a me sembra tra 1 e 2.
Allora ho risolto così:
$1<=\rho<=2$ $7/4pi<=\theta<=3/4pi$
$x_0==1/m(D) int int_D x dxdy= 4/pi int int_d \rho^2 cos\thetad\rhod\theta= 4/pi int_{1}^{2}\rho^2 d\rho int_{7/4pi}^{3/4pi} cos\theta d\theta=$
$4/pi int_{1}^{2}\rho^2 [sen\theta]_{7/4pi}^{3/4pi}d\rho=(4sqrt2)/(3pi) int_{1}^{2}\rho^2 d\rho=(4sqrt2)/(3pi)[\rho]_{1}^{2}=(28sqrt2)/(3pi)$
ma secondo voi ho fatto bene a risolvere così, mi potreste dare un'indicazione.
Grazie a tutti
Allora ho risolto così:
$1<=\rho<=2$ $7/4pi<=\theta<=3/4pi$
$x_0==1/m(D) int int_D x dxdy= 4/pi int int_d \rho^2 cos\thetad\rhod\theta= 4/pi int_{1}^{2}\rho^2 d\rho int_{7/4pi}^{3/4pi} cos\theta d\theta=$
$4/pi int_{1}^{2}\rho^2 [sen\theta]_{7/4pi}^{3/4pi}d\rho=(4sqrt2)/(3pi) int_{1}^{2}\rho^2 d\rho=(4sqrt2)/(3pi)[\rho]_{1}^{2}=(28sqrt2)/(3pi)$
ma secondo voi ho fatto bene a risolvere così, mi potreste dare un'indicazione.
Grazie a tutti
qualcuno mi può dare una mano.... per piacere
[img=http://img410.imageshack.us/img410/6272/baricentroyq9.th.jpg]
Il dominio è quello colorato in azzurro.Esso ha la retta x=1 come asse di simmetria e pertanto è
$x_G=1$
Per il calcolo di $y_G$ si può osservare che sull'arco di circonferenza è $rho=2costheta$
e quindi $0
$y_G=4/(pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)sintheta d theta int_0^(2costheta)rho^2d rho=(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)sinthetacos^3theta d theta =-(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)[d(1/4cos^4 theta)$
E quindi:
$y_G=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^4-(sin((pi)/8))^4]=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^2-(sin((pi)/8))^2]=8/(3pi)cos(2(pi)/8)=8/(3pi)*(sqrt2)/2=(4sqrt2)/(3pi)$
Il dominio è quello colorato in azzurro.Esso ha la retta x=1 come asse di simmetria e pertanto è
$x_G=1$
Per il calcolo di $y_G$ si può osservare che sull'arco di circonferenza è $rho=2costheta$
e quindi $0
$y_G=4/(pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)sintheta d theta int_0^(2costheta)rho^2d rho=(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)sinthetacos^3theta d theta =-(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)[d(1/4cos^4 theta)$
E quindi:
$y_G=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^4-(sin((pi)/8))^4]=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^2-(sin((pi)/8))^2]=8/(3pi)cos(2(pi)/8)=8/(3pi)*(sqrt2)/2=(4sqrt2)/(3pi)$
Il problema si semplificherebbe di molto se si applicasse la traslazione (vedi figura)
${(x=X+1),(y=Y):}$ che porta l'origine O(0,0) nel centro C(1,0) della circonferenza.
${(x=X+1),(y=Y):}$ che porta l'origine O(0,0) nel centro C(1,0) della circonferenza.
$\rho$ non lo si può porre compreso tra 1 e 1?(spero di non aver detto una .....)
poi visto che io non so bene, mi spieghi come hai fatto a capire che $\rho=2cos\theta$,
poi nel tuo procedimento:
$-(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)[d(1/4cos^4 theta)$ la d sta per derivata', anch' io mi trovo così $1/4cos^4\theta$
poi come hai fatto a fare:
$y_G=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^4-(sin((pi)/8))^4]$ poi da esponente alla quarta sei passato alla seconda, spiegami un pò, mi sa che sei troppo bravo e quindi fai cose che io non capisco....
cmq grazie mille
poi visto che io non so bene, mi spieghi come hai fatto a capire che $\rho=2cos\theta$,
poi nel tuo procedimento:
$-(32)/(3pi)int_((pi)/8)^(3/8pi)[d(1/4cos^4 theta)$ la d sta per derivata', anch' io mi trovo così $1/4cos^4\theta$
poi come hai fatto a fare:
$y_G=8/(3pi)[(cos((pi)/8))^4-(sin((pi)/8))^4]$ poi da esponente alla quarta sei passato alla seconda, spiegami un pò, mi sa che sei troppo bravo e quindi fai cose che io non capisco....
cmq grazie mille
1 )la "d" sta per differenziale
2) L'equazione dell'arco di circonferenza ( con qualche limitazione) è $x^2+y^2-2x=0$.Passando a coordinate polari hai:
$(rho cos theta)^2+(rho sin theta )^2 -2 rho cos theta=0$
Cioé:
$rho^2(cos^2 theta+sin^2 theta)-2 rho cos theta=0$ da cui eliminando la soluzione $rho=0$ risulta $rho=2cos theta$
3) Applicando le formule $a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2) ,cos(3/8pi)=sin ((pi)/2-3/8pi)=sin((pi)/8),cos^2 alpha -sin^2 alpha =cos (2 alpha),$ abbiamo:
$y_G=8/(3pi) [(cos( (pi)/8))^4-(cos (3/8(pi)))^4]=8/(3pi) [(cos( (pi)/8))^4-(sin ((pi)/8))^4]=8/(3pi)[(cos( (pi)/8))^2+(sin ((pi)/8))^2]* [(cos( (pi)/8))^2-(sin ((pi)/8))^2]=$
$=8/(3pi)*[1]* [(cos( (pi)/8))^2-(sin ((pi)/8))^2]=8/(3pi)*cos (2*(pi)/8)=8/(3pi)*(sqrt2)/2=(4sqrt2)/(3pi)$
2) L'equazione dell'arco di circonferenza ( con qualche limitazione) è $x^2+y^2-2x=0$.Passando a coordinate polari hai:
$(rho cos theta)^2+(rho sin theta )^2 -2 rho cos theta=0$
Cioé:
$rho^2(cos^2 theta+sin^2 theta)-2 rho cos theta=0$ da cui eliminando la soluzione $rho=0$ risulta $rho=2cos theta$
3) Applicando le formule $a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2) ,cos(3/8pi)=sin ((pi)/2-3/8pi)=sin((pi)/8),cos^2 alpha -sin^2 alpha =cos (2 alpha),$ abbiamo:
$y_G=8/(3pi) [(cos( (pi)/8))^4-(cos (3/8(pi)))^4]=8/(3pi) [(cos( (pi)/8))^4-(sin ((pi)/8))^4]=8/(3pi)[(cos( (pi)/8))^2+(sin ((pi)/8))^2]* [(cos( (pi)/8))^2-(sin ((pi)/8))^2]=$
$=8/(3pi)*[1]* [(cos( (pi)/8))^2-(sin ((pi)/8))^2]=8/(3pi)*cos (2*(pi)/8)=8/(3pi)*(sqrt2)/2=(4sqrt2)/(3pi)$
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