Calcolare l'angolo tra due vettori con pr. scalare non standard
Come da titolo dato un prodotto scalare la cui matrice associata é:
$ ( ( 1 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) ) $
e dati i vettori v= $ (1-sqrt(2)) e_1+e_3 $ e w= $ -e_1+e_2 $
Si calcoli la lunghezza di v e l'angolo tra v e w rispetto al suddetto pr. scalare.
Ora in generale disegnare 2 vettori, trovare il loro modulo e l'angolo compreso si impara alle superiori, ma rispetto ad un prodotto scalare non standard non so proprio da dove partire.
Qualcuno saprebbe darmi un incipit?
Grazie!
$ ( ( 1 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 3 ) ) $
e dati i vettori v= $ (1-sqrt(2)) e_1+e_3 $ e w= $ -e_1+e_2 $
Si calcoli la lunghezza di v e l'angolo tra v e w rispetto al suddetto pr. scalare.
Ora in generale disegnare 2 vettori, trovare il loro modulo e l'angolo compreso si impara alle superiori, ma rispetto ad un prodotto scalare non standard non so proprio da dove partire.
Qualcuno saprebbe darmi un incipit?
Grazie!
Risposte
Per definizione, il coseno dell'angolo formato dai due vettori è dato da:
\[
\cos \theta = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u}\rangle}{\sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\ \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}}
\]
in cui \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) è il prodotto scalare, standard o non standard che sia, del tuo spazio, qualunque esso sia; quindi...
\[
\cos \theta = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u}\rangle}{\sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\ \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}}
\]
in cui \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) è il prodotto scalare, standard o non standard che sia, del tuo spazio, qualunque esso sia; quindi...
mmm in effetti questa mi era proprio sfuggita...
E per la lunghezza? C'è un motivo algebrico per cui non si può applicare il teorema di pitagora tra le due componenti e basta?
Sono appena stato assalito da una febbre di dubbi in proposito.
Sapresti linkarmi qualcosa a riguardo, io non saprei neache cosa cercare.
Tipo: questa cosa vale solo in R2? Il concetto di angolo esiste anche in R3, no? E in Rn?
grazie..
_______
edit:
che stupido, questo è già in R3.
Ma il problema resta: cos'è un angolo nello spazio?
E per la lunghezza? C'è un motivo algebrico per cui non si può applicare il teorema di pitagora tra le due componenti e basta?
Sono appena stato assalito da una febbre di dubbi in proposito.
Sapresti linkarmi qualcosa a riguardo, io non saprei neache cosa cercare.
Tipo: questa cosa vale solo in R2? Il concetto di angolo esiste anche in R3, no? E in Rn?
grazie..
_______
edit:
che stupido, questo è già in R3.
Ma il problema resta: cos'è un angolo nello spazio?
"pollo93":
Ma il problema resta: cos'è un angolo nello spazio?
Un angolo fra due vettori nello spazio tridimensionale? Boh ...due vettori individuano un piano; allora il problema è ricondotto al precedente. No?
"pollo93":
mmm in effetti questa mi era proprio sfuggita...
E per la lunghezza? C'è un motivo algebrico per cui non si può applicare il teorema di pitagora tra le due componenti e basta?
Sono appena stato assalito da una febbre di dubbi in proposito.
Sapresti linkarmi qualcosa a riguardo, io non saprei neache cosa cercare.
Tipo: questa cosa vale solo in R2? Il concetto di angolo esiste anche in R3, no? E in Rn?
grazie..
_______
edit:
che stupido, questo è già in R3.
Ma il problema resta: cos'è un angolo nello spazio?
Il teorema di pitagora è un teorema sui triangoli rettangoli... Dove vedi triangoli rettangoli?
Ok...allora:
@giuscri:
Per l'angolo in 3 dimensioni: è vero non ci avevo pensato.
Lo stesso vale su 4, 5, 6..n? Nel piano in 2D compreso tra due vettori si forma un angolo ed eccolo lì, giusto?
Per il lavoro: sì, ho familiarità con il prodotto scalare tra due vettori, ma in quel caso è un prdotto scalare standard. Quindi è F*s*cos$theta$ e finisce lì, qui è più "strano".
@ Vict85:
hai ragione: infatti ho rettificato accorgendomi che non siamo in R2.
Allora, levando la parola "pitagora" riformulo la domanda: la lunghezza di un vettore non è semplicemente la sua norma che se non sbaglio è definita come 'distanza dal punto (0,0,0)'.
[in R2 la norma diventa pitagora, ma questo come hai fatto notare non c'entra]
Rettifica:
Momento, momento, momento...
sì la lunghezza è la norma rispetto al prodotto scalare sopra. cioè $ sqrt()$
@giuscri:
Per l'angolo in 3 dimensioni: è vero non ci avevo pensato.
Lo stesso vale su 4, 5, 6..n? Nel piano in 2D compreso tra due vettori si forma un angolo ed eccolo lì, giusto?
Per il lavoro: sì, ho familiarità con il prodotto scalare tra due vettori, ma in quel caso è un prdotto scalare standard. Quindi è F*s*cos$theta$ e finisce lì, qui è più "strano".
@ Vict85:
hai ragione: infatti ho rettificato accorgendomi che non siamo in R2.
Allora, levando la parola "pitagora" riformulo la domanda: la lunghezza di un vettore non è semplicemente la sua norma che se non sbaglio è definita come 'distanza dal punto (0,0,0)'.
[in R2 la norma diventa pitagora, ma questo come hai fatto notare non c'entra]
Rettifica:
Momento, momento, momento...
sì la lunghezza è la norma rispetto al prodotto scalare sopra. cioè $ sqrt(
[ot]
Be', a livello di definizioni si. Io pero' non riesco piu' a vederlo, ma ci so giocare lo stesso. Questo e' il solito problema: come lo vedi un vettore dell'iperspazio quadridimensionale? Cosa vuol dire che una sezione di uno spazio a \( 7 \) dimensioni e' un iperpiano a \( 6 \) dimensioni? ...
Pensa a questi concetti in maniera piu' astratta, la realta' e' troppo noiosa --consiglio di un pivello, eh. Ad ogni modo la tentazione di pensare a come si viva in mondi con tante dimensioni e' forte --ed e' anche bello che sia cosi'.
Certo; infatti consigliavo una maniera per digerire velocemente quella definizione:
\[ \langle \mathbf{F} , \mathbf{s} \rangle = \| \mathbf{F} \| \, \| \mathbf{s} \| \, \cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta} = \ldots \]
Ora: certo che
\[ \langle \mathbf{F} , \mathbf{s} \rangle \]
non ha piu' il senso di lavoro di una forza se il prodotto scalare non funziona piu' come quello standard (che proietta un vettore sull'altro ... ) ma e' un buon modo per ricordare com'e' definito l'angolo.
Tra l'altro, piccolo pit-stop: secondo me vedere i prodotti scalari avendo nello spirito il prodotto scalare standard aiuta anche a comprendere perche' per una coppia di vettori \( (\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2) \) definisco la situazione di ortogonalita' come lo \( 0 \) di \( \langle \mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \rangle \).[/ot]
"pollo93":
Per l'angolo in 3 dimensioni: è vero non ci avevo pensato. Lo stesso vale su 4, 5, 6..n?
Be', a livello di definizioni si. Io pero' non riesco piu' a vederlo, ma ci so giocare lo stesso. Questo e' il solito problema: come lo vedi un vettore dell'iperspazio quadridimensionale? Cosa vuol dire che una sezione di uno spazio a \( 7 \) dimensioni e' un iperpiano a \( 6 \) dimensioni? ...
Pensa a questi concetti in maniera piu' astratta, la realta' e' troppo noiosa --consiglio di un pivello, eh. Ad ogni modo la tentazione di pensare a come si viva in mondi con tante dimensioni e' forte --ed e' anche bello che sia cosi'.
"pollo93":
Per il lavoro: sì, ho familiarità con il prodotto scalare tra due vettori, ma in quel caso è un prdotto scalare standard.
Certo; infatti consigliavo una maniera per digerire velocemente quella definizione:
\[ \langle \mathbf{F} , \mathbf{s} \rangle = \| \mathbf{F} \| \, \| \mathbf{s} \| \, \cos{\theta} \Rightarrow \cos{\theta} = \ldots \]
Ora: certo che
\[ \langle \mathbf{F} , \mathbf{s} \rangle \]
non ha piu' il senso di lavoro di una forza se il prodotto scalare non funziona piu' come quello standard (che proietta un vettore sull'altro ... ) ma e' un buon modo per ricordare com'e' definito l'angolo.
Tra l'altro, piccolo pit-stop: secondo me vedere i prodotti scalari avendo nello spirito il prodotto scalare standard aiuta anche a comprendere perche' per una coppia di vettori \( (\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2) \) definisco la situazione di ortogonalita' come lo \( 0 \) di \( \langle \mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \rangle \).[/ot]
$langle v,v rangle=v^t cdot A cdot v=(1-sqrt2,0,1)((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,3))((1-sqrt2),(0),(1))=4$
$langle w,w rangle=w^t cdot A cdot w=(-1,1,0)((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,3))((-1),(1),(0))=1$
$langle v,w rangle=v^t cdot A cdot w=(1-sqrt2,0,1)((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,3))((-1),(1),(0))=1$
Quindi :
$ text {lunghezza(v)=}\text$ $ sqrt{langle v,v rangle} =sqrt 4=2$
$cos theta=$$ {langle v,w rangle} /{sqrt{langle v,v rangle} sqrt{langle w,w rangle} }=1/{sqrt4 cdot sqrt1}=1/2-> theta={pi}/3$
$langle w,w rangle=w^t cdot A cdot w=(-1,1,0)((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,3))((-1),(1),(0))=1$
$langle v,w rangle=v^t cdot A cdot w=(1-sqrt2,0,1)((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,3))((-1),(1),(0))=1$
Quindi :
$ text {lunghezza(v)=}\text$ $ sqrt{langle v,v rangle} =sqrt 4=2$
$cos theta=$$ {langle v,w rangle} /{sqrt{langle v,v rangle} sqrt{langle w,w rangle} }=1/{sqrt4 cdot sqrt1}=1/2-> theta={pi}/3$
Il teorema di pitagora è una versione particolare del teorema del coseno che si fa in trigonometria al liceo. Nel teorema di Pitagora infatti si suppone che l'angolo tra i due lati sia di 90°.
In termini di algebra lineare il teorema del coseno dice che \(\displaystyle \langle \mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \) (che è una conseguenza diretta della bilinearità e della simmetria del prodotto scalare). La formula solita si ricava semplicemente moltiplicando \(\displaystyle - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \) per \(\displaystyle 1=\frac{\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}}{\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}} \) e usando la formula del coseno scritta da gugo82.
Detto questo il teorema di pitagora vale nel caso in cui \(\displaystyle \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \). Spero di aver riempito i tuoi dubbi.
In termini di algebra lineare il teorema del coseno dice che \(\displaystyle \langle \mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \) (che è una conseguenza diretta della bilinearità e della simmetria del prodotto scalare). La formula solita si ricava semplicemente moltiplicando \(\displaystyle - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \) per \(\displaystyle 1=\frac{\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}}{\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}} \) e usando la formula del coseno scritta da gugo82.
Detto questo il teorema di pitagora vale nel caso in cui \(\displaystyle \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \). Spero di aver riempito i tuoi dubbi.
Ok, grazie ciromario. È esattamente quello che ho fatto.
Giuscri, sì ho capito cosa intendi. In effetti hai ragione e ripensandoci mi sono accorto che in effetti quasi sempre il mio punto di partenza è pensare in termini di prodotto scalare standard (probabilmente è un approccio "fisico", immagino che i matematici lo disprezzino) Il problema è quando poi proprio mancano i pezzi per arrivare al caso generale.
Ciao e grazie per la millesima volta!
Vict85: chiaro. è esattamente quello che intendevo con "un motivo algebrico".
Direi che avete risolto tutti i miei dubbi a riguardo.
Grazie dell'aiuto.
Giuscri, sì ho capito cosa intendi. In effetti hai ragione e ripensandoci mi sono accorto che in effetti quasi sempre il mio punto di partenza è pensare in termini di prodotto scalare standard (probabilmente è un approccio "fisico", immagino che i matematici lo disprezzino) Il problema è quando poi proprio mancano i pezzi per arrivare al caso generale.
Ciao e grazie per la millesima volta!
Vict85: chiaro. è esattamente quello che intendevo con "un motivo algebrico".
Direi che avete risolto tutti i miei dubbi a riguardo.
Grazie dell'aiuto.
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