Bilineare e continua

[cippolippo1]

sia B: V1x V2-->R bilineare ossia
B(v1, αv2’+β v2’’) = αB(v1,v2’) + βB(v1,v2’’) per ogni α,β appartenenti R
B(αv1’+β v2’’,v2 ) = αB(v1’,v2) + βB(v1’’,v2) per ogni α,β appartenenti R
Si mostri che B è continua sse esiste c>0 tale che |B(v1,v2)|≤c║v1║1.║v2║2

Mi hanno suggerito che devo partire dal fatto che un'applicazione lineare $L$ tra spazi normati è continua se e solo se esiste $c>0$ tale che $||Lx||\leq c||x||$ per ogni $x$. Ho provato ma non ci sono riuscito. In teoria bisognerebbe solo fare operazioni algebriche ma non mi vengono.Chi mi aiuta?

[Luca.Lussardi]

Io ti avevo suggerito quella strada, in effetti mi sono accorto che non funziona, in quanto non è facile dimostrare che la costante è indipendente da entrambe le variabili.

Procediamo quindi con la dimostrazione classica che trovi su ogni testo di Analisi 2, che si fa imitando il ragionamento fatto nel caso delle applicazioni lineari.

Supponiamo $B$ continua; allora $B$ è continua in $(0,0)$. Sia $\delta>0$ tale per cui $||x||+||y||<\delta^2$ e $||B(x,y)||<1$; per ogni $x,y \ne 0$ si ha $||\delta/(2||x||)x||^2+||\delta/(2||y||)y||^2 < \delta^2$, quindi
$\delta/(2||x||)\delta/(2||y||)||B(x,y)||<1$ da cui $||B(x,y)||<4/(\delta^2)||x||||y||=c||x||||y||$, avendo posto $c=4/(\delta^2)$. Nel caso $x=y=0$ la disuguaglianza è banalmente vera.

Supponiamo invece che $||B(x,y)||0$, e siano dati $x_1,y_1$. Allora
$||B(x_1,y_1)-B(x,y)||=||B(x_1,y_1-y)+B(y_1-x,y)||\leq ||B(x_1,y_1-y)||+||B(y_1-x,y)||\leq c||x_1||||y_1-y||+c||y_1-x||||y||$. Se $||x_1-x||^2+||y_1-y||^2<\delta^2$, essendo
$\delta=$min$[\epsilon/(2c||y||+\epsilon),\epsilon/(2c||x||+2c+\epsilon)]$, allora anzitutto si ha $||x_1||\leq ||x||+||x_1-x||\leq ||x||+1$. Dunque si ha $||B(x_1,y_1)-B(x,y)||\leq c||x_1||||y_1-y||+c||x_1-x||||y||

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[cippolippo1]

grazie mille..non so come avrei fatto senza il tuo aiuto