Bel problema: sfera di raggio minimo contenente n punti dati

[franced]

Ecco a voi un bel problema:

dati $n$ punti in $RR^3$, determinare la sfera di raggio minimo contenente tutti i punti assegnati.

[Chevtchenko]

Un'idea (che potrebbe però essere errata):

la sfera avente centro nel baricentro $c = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ degli $n$ punti e raggio pari a $max{|x_1 - c|, \ldots, |x_n - c|}$.

[pic2]

"Chevtchenko":Un'idea (che potrebbe però essere errata):

la sfera avente centro nel baricentro $c = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ degli $n$ punti e raggio pari a $max{|x_1 - c|, \ldots, |x_n - c|}$.

Forse non va bene, prendiamo un triangolo isoscele con angolo al vertice minore di 30°. In quel caso tu prenderesti la sfera di diametro 4/3 h se h è l'altezza. Tuttavia la circonferenza circoscritta ha raggio più piccolo come si vede quasi subito; su tale crf si costruisce la sfera con diametro minore della precedente.

[strangolatoremancino]

scusate se mi intrometto, solo son curioso di capire l' inghippo nel mio ragionamento, che penso esserci

Se siamo in $RR^3$ con la metrica euclidea, ed $A$ è l'insieme formato dagli $n$ punti, un intorno circolare di raggio $r$ del punto generico $c$ è la sfera che stiamo cercando.

La definizione di diametro di un sottoinsieme $A$ di uno spazio metrico metricizzato con la metrica $d$ è $diam A=$ sup $d(x,y)$ con $x,y in A$.

Nel caso di $RR^3$ con la metrica euclidea questo diametro corrisponde al diametro della sfera cercata, avente quindi raggio $r=1/2 diam A$ e centro $c$ nel punto medio del segmento congiungente i punti $x,y$.

P.S. la definizione di intorno circolare esclude tutti i punti di frontiera dell'intorno stesso,dato che in qualunque spazio metrico i punti di un intorno circolare sono interni; in questo caso cioè considereremmo la sfera senza la superficie esterna, su cui però giaciono almeno in due punti $x,y$ grazie a cui si è definito il raggio della sfera.

Quindi per essere più corretti scriviamo l'insieme $A$ contenente gli $n$ punti

$A sub S(c,r) uuu delS$

con $S(c,r)$ l'intorno circolare di raggio $r$ e centro $c$ (la sfera senza superficie esterna) e $delS$ i punti di frontiera dell'insieme $S$ (la superficie esterna della sfera)

in realtà svariate affermazioni vanno giustificate, ma non si può avere tutto

[strangolatoremancino]

imploro umilmente perdono , lascio scritto lo stesso il mio messaggio ma appena l'ho inserito ho visto che non funziona per niente...C'est la vie, ciaociao

[strangolatoremancino]

ok forse ci sono

allora arriviamo fino al punto in dui abbiamo trovato il sup $d(x,y)$ con $x,y in A$ con $A$ insieme degli $n$ punti dati. Quindi in pratica abbiamo i due punti $x,y$ che sono la coppia di punti più distanti . Ora "disegnamo" due sfere aventi come centri $x$ e $y$ e di raggio pari alla distanza tra $x$ e $y$. E' intuitivo che nello spazio formato da queste due sfere ricadono sicuramente tutti gli $n$ punti.

Le superfici di queste due sfere si intersecano individuando un cerchio.

La sfera di raggio minimo che contiene gli $n$ punti è centrata sempre nel punto medio dei due punti $x$ e $y$, e si ottiene facendo ruotare il cerchio formato dall'intersezione delle due sfere di cui sopra attorno ad una retta passante per il punto medio dei punti $x$ e $y$ e intersecante il cerchio.

Ovviamente mancano le giustificazioni

[strangolatoremancino]

Anzi non ancora, uff

La sfera descritta sopra sicuramente contiene tutti gli $n$ punti ma non è quella minima. Allora riprendiamo i nostri due punti $x$ e $y$ (che ricordo essere la coppia di punti più distante tra loro) e il loro punto medio $c$.

La sfera di raggio minimo che contiene tutti gli $n$ punti è sempre centrata in $c$, ha raggio compreso tra il raggio della sfera sopra descritta (come valore massimo), e come valore minimo la metà della distanza tra i punti $x$ e $y$. Più precisamente è il massimo delle distanze dal punto $c$ ad ognuno dei punti $n$

forse ma forse ma forse ci siamo, in ogni caso buonanotte

[pic2]

Buongiorno strangolatoremancino
Per escludere le cose proposte qui sopra, risolviamo il caso n=3. Per gli ottusangoli conviene prendere la sfera con diametro il lato più lungo, questo mi pare ovvio. Per gli acutangoli conviene prendere la circonferenza circoscritta e costruire la sfera minima che la contiene. Infatti (esercizio per voi) se una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circoscritta allora il triangolo è ottusangolo.

[G.D.5]

"pic":Infatti (esercizio per voi) se una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circoscritta allora il triangolo è ottusangolo.

Non ti ho capito: una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circonferenza circoscritta al triangolo?
Ma la circonferenza circoscritta a un triangolo non dovrebbe essere quella di raggio minimo che lo contiene?

[pic2]

No.

[strangolatoremancino]

"pic":Buongiorno strangolatoremancino
Per escludere le cose proposte qui sopra, risolviamo il caso n=3. Per gli ottusangoli conviene prendere la sfera con diametro il lato più lungo, questo mi pare ovvio. Per gli acutangoli conviene prendere la circonferenza circoscritta e costruire la sfera minima che la contiene. Infatti (esercizio per voi) se una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circoscritta allora il triangolo è ottusangolo.

Buongiorno anche a te pic

Concordo con tutto quello che hai scritto, anche se l'ultima affermazione non saprei al momento mettere giù una dimostrazione, mi sembra molto intuitiva.

E quindi ho anche visto che la mia soluzione non funziona, mannaggia

Nel caso di tre punti ok, ma nel caso di $n$ punti come posso trovare i tre punti che mi servono per tracciare la sfera? Due di questi tre punti sono comunque la coppia di punti più distanti?

[G.D.5]

"pic":No.

A quale dei due punti interrogativi è riferito il no?

[pic2]

Al secondo. Pensa ad un triangolo ottusangolo.. la circoscritta è più grande di quella che ha per diametro il lato più lungo; quest'ultima di sicuro contiene il triangolo. Secondo il mio modesto parere ci saresti arrivato disegnando qua e là un po' di triangoli e facendo delle prove, ma ormai ho risposto .
Magari prova a formalizzare questa cosa!
Ciao

[strangolatoremancino]

"WiZaRd":[quote="pic"]Infatti (esercizio per voi) se una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circoscritta allora il triangolo è ottusangolo.

Non ti ho capito: una circonferenza contiene un triangolo e ha raggio minore della circonferenza circoscritta al triangolo?
Ma la circonferenza circoscritta a un triangolo non dovrebbe essere quella di raggio minimo che lo contiene?[/quote]

Se pic permette...

alla tua prima domanda la risposta, una volta dimostrata l'affermazione di pic, è che se il triangolo è ottusangolo esiste una circonferenza che contiene il triangolo la quale è minore della cfr circoscritta. E' facile vederlo, se ti disegni su un foglio un triangolo "piccolo" ma "molto ottusangolo", vedi che i tre vertici sono quasi allineati, e quindi serve una circonferenza di raggio molto grande per intersecare i vertici, mentre basta una circonferenza relativamente piccola per contenere il triangolo, di diametro almeno pari al lato opposto all'angolo ottuso.

alla seconda domanda quindi si risponde non in generale, e comunque non dovrebbe essere quella la definizione di circonferenza circoscritta.

[strangolatoremancino]

scusate stavo scrivendo mi sono distratto e l'ho inviato in ritardo,niente di grave....

[pic2]

Up! qualcuno dica qualcosa prima che questo post scivoli nel nulla! Ad esempio, wizard, hai fatto i compiti ?
Oppure, franced, tu hai una soluzione di questo problema?