Basi per $M_{2\times2}(RR)$

[TomSawyer1]

Determinare per quali valori del parametro $k\in RR$ le seguenti matrici di $M_{2\times2}(RR)$ sono linearmente indipendenti: $A=((1,1),(1,-2)),B=((2,2),(0,k)),B=((k,k),(1,k-2))$; ed estrarre una base dall'insieme ${A,B,C}$ per il sottospazio $"Span"(A,B,C)$, al variare di $k$.
Io sbaglio a trovare i valori di $k$, ne ho trovati 3 (ma non mi ricordo quali).

[cozzataddeo]

"TomSawyer":Determinare per quali valori del parametro $k\in RR$ le seguenti matrici di $M_{2\times2}(RR)$ sono linearmente indipendenti: $A=((1,1),(1,-2)),B=((2,2),(0,k)),B=((k,k),(1,k-2))$; ed estrarre una base dall'insieme ${A,B,C}$ per il sottospazio $"Span"(A,B,C)$, al variare di $k$.
Io sbaglio a trovare i valori di $k$, ne ho trovati 3 (ma non mi ricordo quali).

Credo tu intenda

$A=((1,1),(1,-2)),B=((2,2),(0,k)),C=((k,k),(1,k-2))$

Io ho trovato 2 valori per cui le tre matrici sono linearmente dipendenti. Ho seguito questo ragionamento. Considerata la base canonica per lo spazio $M_{2\times2}(RR)$ le tre matrici sono rappresentate dai vettori

$a=(1,1,1,-2), b=(2,2,0,k), c=(k,k,1,k-2)$

La condizione

$alphaa+betab=0$

è verificata per $alpha=beta=0 forall k \in RR$ e quindi $a$ e $b$ sono sempre linearmente indipendenti.

La condizione

$alphaa+betab+gammac=0$

è verificata per $(alpha,beta,gamma)!=(0,0,0)$ solo se $k=0$ o $k=3$ che sono quindi gli unici valori per cui le tre matrici risultano linearmente dipendenti. In particolare $C$ risulta linearmente dipendente da $A$ e $B$.

Ti torna?