Basi per intersezioni e somme di sottospazi
Salve, avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio.
Dati due insiemi:
$ U={( ( a , b ),( 0 , 0 ) ) | a,b in RR } $
$ W=span{( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ), ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) )} $
calcolare una base per l'intersezione di U e W e per la loro somma.
Dunque, finora sono arrivato a definire l'insieme intersezione:
$ U nn W={( ( a , b ),( 0 , 0 ) ),a,b in RR|( ( a , b ),( 0 , 0 ) )=x*( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )+y*( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) )+z*( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) )} $
e a stabilire che i generatori in W sono linearmente indipendenti.
Come procedo ora?
Dati due insiemi:
$ U={( ( a , b ),( 0 , 0 ) ) | a,b in RR } $
$ W=span{( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ), ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) )} $
calcolare una base per l'intersezione di U e W e per la loro somma.
Dunque, finora sono arrivato a definire l'insieme intersezione:
$ U nn W={( ( a , b ),( 0 , 0 ) ),a,b in RR|( ( a , b ),( 0 , 0 ) )=x*( ( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) )+y*( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) )+z*( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) )} $
e a stabilire che i generatori in W sono linearmente indipendenti.
Come procedo ora?
Risposte
La condizione che hai scritto ti fornisce un sistema di 4 equazioni nelle incognite $x,y,z$ (i valori $a,b$ variano liberamente). Puoi determinare quali sono, rispetto alla base di $W$, le componenti della generica matrice di $U$ (risolvendo il sistema) e questo ti permette di vedere che tipo di condizioni debbano valere affinché una matrice sia in entrambi gli spazi. da queste condizioni, determini la base dell'intersezione.
Quindi facendo il sistema la cui matrice completa è $ ( ( 1 , 0 , 1 , a ),( 1 , 0 , 0 , b ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 2 , 1 , -1 , 0 ) ) $ calcolo le condizioni per cui il rango di questa matrice sia 3 e non 4 (cioè impongo $ a=2b $ ), dopodiché però il sistema non mi sembra comunque risolubile, anche se non capisco perché...
Allora, prima di tutto osserva che i vettori che generano $W$ sono linearmente indipendenti. Come ha detto ciampax, l'intersezione la trovi dal sistema che ottieni imponendo che un elemento di $U$ appartenga a $W$, ovvero sia dato da una combinazione lineare delle matrici $((1,1),(1,2))$,$((0,0),(1,1))$ e $((1,0),(0,-1))$ (nota che le incognite sono $x$,$y$ e $z$!)
Poiché non hai condizioni su $a,b in bbbR$ devi solo imporre l'annullamento dei termini della seconda riga
praticamente hai trovato la condizione sui coefficienti delle combinazioni lineari che fanno sì che un generico vettore di $W$ appartenga a $U$
Quindi hai che $U nn W={((2k,k),(0,0)): k in bbbR}$ e banalmente ne trovi una base.
Per quando riguarda la somma puoi innanzitutto trovare informazioni in merito alla sua dimensione usando la formula di Grassmann
Dato che hai già degli insiemi di generatori sia per $U$ che per $W$ per la definizione di somma di sottospazi hai che un insieme di generatori per $U+W$ e dato dall'unione dei generatori di $U$ e $W$; trovando quali di questi sono linearmente indipendenti ottieni una base di $U+W$
Poiché non hai condizioni su $a,b in bbbR$ devi solo imporre l'annullamento dei termini della seconda riga
praticamente hai trovato la condizione sui coefficienti delle combinazioni lineari che fanno sì che un generico vettore di $W$ appartenga a $U$
Quindi hai che $U nn W={((2k,k),(0,0)): k in bbbR}$ e banalmente ne trovi una base.
Per quando riguarda la somma puoi innanzitutto trovare informazioni in merito alla sua dimensione usando la formula di Grassmann
Dato che hai già degli insiemi di generatori sia per $U$ che per $W$ per la definizione di somma di sottospazi hai che un insieme di generatori per $U+W$ e dato dall'unione dei generatori di $U$ e $W$; trovando quali di questi sono linearmente indipendenti ottieni una base di $U+W$
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