Basi e Span... mi fate un esempio?
Ciao a tutti.
Come da titolo, qualcuno potrebbe farmi un esempio di uno $Span(v_1,..., v_n)$ che generi tutto uno spazio vettoriale $V$?
Cioè affinchè esista una base questi $v_1,..., v_n$ devono essere un sistema di generatori, e fin qui ci sono. Ma non riesco ad immaginarne altri a parte quelli che formano la base canonica. Sarà perchè ancora non ho capito benissimo l'argomento, ma non vedo altri vettori che mi generino un intero spazio vettoriale $V$...
Per cui quando faccio gli esercizi non riesco ad identificare delle basi, se non guardando se i vettori sono linearmente indipendenti. Ma non riesco a verificare il fatto che lo span sia anche un sistema di generatori.
Grazie.
Come da titolo, qualcuno potrebbe farmi un esempio di uno $Span(v_1,..., v_n)$ che generi tutto uno spazio vettoriale $V$?
Cioè affinchè esista una base questi $v_1,..., v_n$ devono essere un sistema di generatori, e fin qui ci sono. Ma non riesco ad immaginarne altri a parte quelli che formano la base canonica. Sarà perchè ancora non ho capito benissimo l'argomento, ma non vedo altri vettori che mi generino un intero spazio vettoriale $V$...
Per cui quando faccio gli esercizi non riesco ad identificare delle basi, se non guardando se i vettori sono linearmente indipendenti. Ma non riesco a verificare il fatto che lo span sia anche un sistema di generatori.
Grazie.
Risposte
Prendi $\mathbb{R}^2$, sia $\{(0,1), (1,0)\}$ che $\{(0,1), (1,0), (1,1)\}$ sono dei generatori, ma solo il primo è una base...
"Tipper":
Prendi $\mathbb{R}^2$, sia $\{(0,1), (1,0)\}$ che $\{(0,1), (1,0), (1,1)\}$ sono dei generatori, ma solo il primo è una base...
Mi spieghi perchè sono dei generatori?
grazie..
Edit:
Ho capito perchè sono dei generatori!
Ma non capisco perchè il secondo non è lin. indipendete..
il secondo non è l.i. perchè il terzo vettore è dato dalla somma degli altri due
"fu^2":
il secondo non è l.i. perchè il terzo vettore è dato dalla somma degli altri due
Ok. Capito. Grazie.
Ma come faccio a sapere se 2 vettori sono linearmente indipendenti, o se sono un sistema di generatori, se i vettori sono grandi o complicati? Questi sono semplici e lo vedo ad occhio.. ma in generale come faccio?
beh il metodo forza bruta se sei ancora all'inizio 
cioè usi la definizione,
esempio :
se x,y,z son tre vettori, per vedere se sono l.i. il sistema $ax+by+cz=0$ con $a,b,c\in\K$ se e solo se $a=b=c=0$ altrimenti ottieni i valori per cui sono combinazioni lineari.
cioè usi la definizione,
esempio :
se x,y,z son tre vettori, per vedere se sono l.i. il sistema $ax+by+cz=0$ con $a,b,c\in\K$ se e solo se $a=b=c=0$ altrimenti ottieni i valori per cui sono combinazioni lineari.
Ciao Jonh.
Intanto non puoi dire che uno $Span (v_1,...,v_n)$ genera uno spazio vettoriale $V$, ma devi dire che ${v_1,...,v_n}$ lo genera (cioè che $v_1,...,v_n$ sono un sistema di generatori), e che $Span (v_1,...,v_n)$ sia quindi uguale a $V$. Detto questo, esempio semplissimo. Prendi $V=RR^2$. Qualsiasi coppia di vettori appartenenti a $V$ non proporzionali sono una base.
Prendi ad esempio $v_1=((2),(0))$, $v_2=((0),(3))$. Infatti generano, poichè qualunque elemento $v=((x),(y))in RR^2, x,y in RR$ si può scrivere come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$
(il sistema ${\(2a_1+0*a_2=x),(0*a_1+3a_2=y):}$ ha soluzione per ogni $x,y in RR$, e quinid per ogni $v inRR^2$). Praticamente ti costruiisci la matrice $A=((v_1,...,v_n))$ e ti studi il sistema $AX=v$, dove $x=((a_1),(a_2),...,(a_n))$ (questa sarebbe una matrice, un vettore colonna per intenderci, ma non sono riuscito a farlo...), dove gli $a_1,...,a_n $sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $(v_1,...,v_n)$.
Inoltre vedi bene che sono linearmente indipendenti. Quindi sono una base. E ne puoi costurire infinite. Geometricamente, qualsiasi vettore del piano può essere la diagonale del parallelogramma di lati v_2 e v_2(detto in maniera non troppo formale) . Chiaro? La secoda di Tipper invece non è una base di $RR^2$ perchè $(1,1)=1*(1,0)+1*(0,1).$, che è una relazione di dipendenza lineare.)
Intanto non puoi dire che uno $Span (v_1,...,v_n)$ genera uno spazio vettoriale $V$, ma devi dire che ${v_1,...,v_n}$ lo genera (cioè che $v_1,...,v_n$ sono un sistema di generatori), e che $Span (v_1,...,v_n)$ sia quindi uguale a $V$. Detto questo, esempio semplissimo. Prendi $V=RR^2$. Qualsiasi coppia di vettori appartenenti a $V$ non proporzionali sono una base.
Prendi ad esempio $v_1=((2),(0))$, $v_2=((0),(3))$. Infatti generano, poichè qualunque elemento $v=((x),(y))in RR^2, x,y in RR$ si può scrivere come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$
(il sistema ${\(2a_1+0*a_2=x),(0*a_1+3a_2=y):}$ ha soluzione per ogni $x,y in RR$, e quinid per ogni $v inRR^2$). Praticamente ti costruiisci la matrice $A=((v_1,...,v_n))$ e ti studi il sistema $AX=v$, dove $x=((a_1),(a_2),...,(a_n))$ (questa sarebbe una matrice, un vettore colonna per intenderci, ma non sono riuscito a farlo...), dove gli $a_1,...,a_n $sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $(v_1,...,v_n)$.
Inoltre vedi bene che sono linearmente indipendenti. Quindi sono una base. E ne puoi costurire infinite. Geometricamente, qualsiasi vettore del piano può essere la diagonale del parallelogramma di lati v_2 e v_2(detto in maniera non troppo formale) . Chiaro? La secoda di Tipper invece non è una base di $RR^2$ perchè $(1,1)=1*(1,0)+1*(0,1).$, che è una relazione di dipendenza lineare.)
Ok, grazie tommy. Tra questa (esauriente) risposta e la chiacchierata su msn penso di aver capito meglio il tutto. Non dico di aver capito perfettamente proprio TUTTO TUTTO... però inizio a capire.. 
Ora faccio un pò di esercizi.. e al massimo vi richiedo qua. Grazie a tutti!
ciaoo!
Ora faccio un pò di esercizi.. e al massimo vi richiedo qua. Grazie a tutti!
ciaoo!
"fu^2":
beh il metodo forza bruta se sei ancora all'inizio
e il metodo + furbo?
metterli in una matrice e vedere il suo rango...
(o con determinante - diverso da zero, vedi sotto commento... - o con autovalori - troppi conti però - o con operazioni per irghe e colonne - mi perdo nelle addizioni - )
in quantità di tempo ci risparmi e sei si è furbi da sviluppare il determinante per la riga giusta son proprio pochi conti...
edit: una matrice viene facile calcolare il rango perchè sai che ti deve venire quadrata per essere una possibile base...
(o con determinante - diverso da zero, vedi sotto commento... - o con autovalori - troppi conti però - o con operazioni per irghe e colonne - mi perdo nelle addizioni - )
in quantità di tempo ci risparmi
e sei si è furbi da sviluppare il determinante per la riga giusta son proprio pochi conti... edit: una matrice viene facile calcolare il rango perchè sai che ti deve venire quadrata per essere una possibile base...
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