Basi e matrici

[Sk_Anonymous]

Come posso trovare la base di un sottospazio vettoriale utilizzando le matrici???

esempio: trovare, in R5 , una base ortogonale del sottospazio vettoriale di equazione cartesiana:

3x1+x2-x3+5x4+x5=0???

grazie in anticipo

[_Tipper]

Dato che hai una equazione in cinque incognite servono quattro parametri liberi, detti $x_1=\alpha$, $x_2=\beta$, $x_3=\gamma$, $x_4=\delta$, si ha $x_5=-3\alpha - \beta + \gamma - 5\delta$, quindi il generico vettore di tale sottospazio si scrive come:

$((\alpha),(\beta),(\gamma),(\delta),(-3\alpha - \beta + \gamma - 5\delta))=\alpha((1),(0),(0),(0),(-3)) + \beta ((0),(1),(0),(0),(-1)) + \gamma ((0),(0),(1),(0),(1)) + \delta ((0),(0),(0),(1),(-5))$

Quei quattro vettori sono una base di quel sottospazio.

[Sk_Anonymous]

Grazie infinite, ma ho un' altra domanda da farti:

se volessi trovare ua base del sottospazio ortogonale a quello sopra indicato?

[_Tipper]

Ogni vettore dello spazio ortogonale è appunto ortogonale ad ogni vettore dello spazio di partenza. Quello che si fa è considerare un generico vettore $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4),(x_5))$, e imporre che il prodotto scalare con ogni vettore della base sia zero, ovvero:

$\{(x_1-3x_5=0),(x_2-x_5=0),(x_3+x_5=0),(x_4-5x_5=0):}$

Questo è l'equazione cartesiana dello spazio ortogonale, e risalire ad una base ora è semplice.

[Sk_Anonymous]

Sempre facendo riferimento al testo di prima, una volta che io ho individuato che la dimensione del sottospazio è 4
nn posso mettere come base la base canonica di R4???

[_Tipper]

"duo":Sempre facendo riferimento al testo di prima, una volta che io ho individuato che la dimensione del sottospazio è 4
nn posso mettere come base la base canonica di R4???

E che c'entra $\mathbb{R}^4$?