Basi e coordinate
Dimostrare che $( 1, 0, 0), (1, 1, 2), (-1, 1, 0)$ è un riferimento di $R^3$ e scrivere il vettore v di
coordinate $(1,2,3)$ in tale riferimento.
Per dimostrare che i vettori sono un riferimento di $R^3$ ho verificato che siano tutti indipendenti(e lo sono) mentre per scrivere il vettore di coordinate $(1,2,3)$ in tale coordinate come faccio?
dovrei usare 1, 2, 3 come scalari cioè una cosa del tipo:
$(x,y,z)=1(1,0,0)+2(1,1,2)+3(-1,1,0)=(0,5,4)$
Il vettore è $(0,5,4)$ è corretto?
E se eventualmente volessi calcolare due riferimenti di $R^2$ che contengano il vettore $(1,-3)$ e calcolare poi le coordinate di $(-1, 3)$
in ciascuno di tali riferimenti. Come faccio?
Io ho provato a fare così:
$R1={(1,-3),(0, 1)}$ e $R2={(1-3),(0,5)}$ => Questi dovrebbero costituire due riferimenti aventi il vettore $(1,-3)$, per calcolare le coordinate di $(-1,3)$??
P.S
AVevo pensato di fare così:
$(-1,3)=h1(1,-3)+h2(0,1)$ per il primo riferimento (ottenendo h1 e h2 che sono le coordinate)
$(-1,3)=h1(1,-3)+h2(0,5)$ per il secondo riferimento
Ma non sò se è corretto...
coordinate $(1,2,3)$ in tale riferimento.
Per dimostrare che i vettori sono un riferimento di $R^3$ ho verificato che siano tutti indipendenti(e lo sono) mentre per scrivere il vettore di coordinate $(1,2,3)$ in tale coordinate come faccio?
dovrei usare 1, 2, 3 come scalari cioè una cosa del tipo:
$(x,y,z)=1(1,0,0)+2(1,1,2)+3(-1,1,0)=(0,5,4)$
Il vettore è $(0,5,4)$ è corretto?
E se eventualmente volessi calcolare due riferimenti di $R^2$ che contengano il vettore $(1,-3)$ e calcolare poi le coordinate di $(-1, 3)$
in ciascuno di tali riferimenti. Come faccio?
Io ho provato a fare così:
$R1={(1,-3),(0, 1)}$ e $R2={(1-3),(0,5)}$ => Questi dovrebbero costituire due riferimenti aventi il vettore $(1,-3)$, per calcolare le coordinate di $(-1,3)$??
P.S
AVevo pensato di fare così:
$(-1,3)=h1(1,-3)+h2(0,1)$ per il primo riferimento (ottenendo h1 e h2 che sono le coordinate)
$(-1,3)=h1(1,-3)+h2(0,5)$ per il secondo riferimento
Ma non sò se è corretto...
Risposte
"gaten":
dovrei usare 1, 2, 3 come scalari cioè una cosa del tipo:
$(x,y,z)=1(1,0,0)+2(1,1,2)+3(-1,1,0)=(0,5,4)$
Il vettore è $(0,5,4)$ è corretto?
Mi sa che non hai tanto idea di che cosa stai facendo... sbaglio?
Il procedimento è assai lineare. I vettori [tex](1,0,0),(1,1,2),(-1,1,0)[/tex] sono una base di [tex]\mathbb R^3[/tex]. Quindi ogni altro vettore [tex]\mathbf v[/tex] deve potersi scrivere come [tex]\mathbf v = x(1,0,0) + y (1,1,2) + z (-1,1,0)[/tex].
Sostituendo [tex]\mathbf v = (1,2,3)[/tex] ottieni il sistema
[tex]\begin{cases} x + y - z = 1 \\ y + z = 2 \\ 2 y = 3 \end{cases}[/tex]
e risolvendolo trovi le tue componenti. Intuitivo, no? (per inciso la soluzione è [tex](0, \frac{3}{2}, \frac{1}{2})[/tex])
Piuttosto, sapresti giustificarmi in termini di teorema di Rouché-Capelli perché il precedente sistema ha per forza soluzione (cioè, perché sappiamo a priori che ha soluzione, prima di sostituire il vettore [tex]\mathbf v[/tex] e prima di fare i conti)?
Ah, ti faccio una ramanzina (non prendertela a male, ma non è riguardo alla geometria, ma al modo di approcciarsi alle cose). Esistono le verifiche; cioè tu proponevi come soluzione [tex](0,5,4)[/tex]. Se fosse stato corretto avresti dovuto avere [tex](1,2,3) = 0 \cdot (1,0,0) + 5 \cdot (1,1,2) + 4 \cdot (-1,1,0) = (1,9,10)[/tex]. E qui c'è qualcosa che non va, non trovi?
Rouchè-Capelli dice che se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa(quindi prendendo in considerazione i termini noti), il sistema è compatibile. Comunque grazie ora mi è chiaro, e per quanto riguarda l'altro esercizio ?
"gaten":
Rouchè-Capelli dice che se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa(quindi prendendo in considerazione i termini noti), il sistema è compatibile.
Non avevo dubbi che sapessi l'enunciato. Ora, però, nel nostro caso perché sono soddisfatte le ipotesi?
Se svolgo l'eliminazione di gauss alla matrice associata al sistema che hai scritto, ottengo quello che ho detto nell'enunciato, cioè che il rango della matrice senza i termini noti(matrice incompleta) è uguale al rango della matrice con i termini noti(matrice completa). Quindi sicuramente ammette almento una soluzione
Sì, avrei preferito sentirmi dire qualcosa del tipo: "siccome la matrice dei coefficienti di quel sistema è la matrice delle componenti di una base dello spazio, necessariamente ha rango massimo, sicché le ipotesi di Rouché - Capelli sono forzatamente soddisfatte". Infatti, dal tuo discorso non si evince comunque il motivo per cui i due ranghi dovrebbero essere uguali (a priori e per qualunque scelta di [tex]\mathbf v[/tex]).
Per il secondo esercizio, va abbastanza bene. Puoi riformularlo come: "completare il sistema di vettori libero [tex](1,-3)[/tex] ad una base di [tex]\mathbb R^2[/tex] in due modi diversi". Comunque le due basi che proponi vanno bene.
Per la seconda domanda, invece, rispondi prima a questa: sia [tex]\mathcal B = (\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n)[/tex] una base di [tex]\mathbb R^n[/tex]. Quali sono le componenti del vettore [tex]\mathbf v_1[/tex] rispetto alla base [tex]\mathcal B[/tex]? Preferibilmente, non vorrei vedere nemmeno un conto nella risposta, thanks...
Per il secondo esercizio, va abbastanza bene. Puoi riformularlo come: "completare il sistema di vettori libero [tex](1,-3)[/tex] ad una base di [tex]\mathbb R^2[/tex] in due modi diversi". Comunque le due basi che proponi vanno bene.
Per la seconda domanda, invece, rispondi prima a questa: sia [tex]\mathcal B = (\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n)[/tex] una base di [tex]\mathbb R^n[/tex]. Quali sono le componenti del vettore [tex]\mathbf v_1[/tex] rispetto alla base [tex]\mathcal B[/tex]? Preferibilmente, non vorrei vedere nemmeno un conto nella risposta, thanks...
Nel mio caso per la prima base: $(1,0)$
$v=h1(v1)+h2(v2)$
Le componenti di v sono gli scalari h1 e h2
$v=h1(v1)+h2(v2)$
Le componenti di v sono gli scalari h1 e h2
Sì, ma questa non è una risposta. Prova a pensare alla domanda che ti ho fatto. La risposta è un vettore fatto di numeri concreti, non incognite!
Scusami nel mio caso, riesco a determinare le componenti , ma in base alla tua domanda come faccio?
La risposta è alquanto stupida, però sarebbe bene che ci riflettessi per conto tuo. E' una di quelle cose a cui è meglio se arrivi da solo (sarai colpito dalla stupidità della domanda, quando te ne renderai conto).
Ti invito a rifletterci un po' più a lungo ed eventualmente a girare per la casa gesticolando come un matto (talvolta lo faccio davvero, mi aiuta a visualizzare, lol). Poi eventualmente ti svelerò l'arcano!
Ti invito a rifletterci un po' più a lungo ed eventualmente a girare per la casa gesticolando come un matto (talvolta lo faccio davvero, mi aiuta a visualizzare, lol). Poi eventualmente ti svelerò l'arcano!
A me verrebbe da dire che è un'ennupla (unica) $(y1,y2,...,y_n)$ tale che $v=y1v1+y2v2+...+y_nv_n$
Ok, ma [tex]\mathbf v = \mathbf v_1[/tex]. L'unicità della scrittura rispetto ad una base ti suggerisce niente?
Bè si, i vettori di una base sono tutti linearmente indipendenti, quindi esiste un unica combinazione lineare per esprimere v, è questa è data da scalari tutti nulli. E' giusto?
No. Se prendi tutti gli scalari nulli ottieni il vettore nullo. E [tex]\mathbf v_1 \ne \mathbf 0[/tex].
Ma la scrittura [tex]\mathbf v_1 = 1 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \ldots + 0 \mathbf v_n[/tex] non ti pare che vada bene?
Ma la scrittura [tex]\mathbf v_1 = 1 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \ldots + 0 \mathbf v_n[/tex] non ti pare che vada bene?
Si , per v1 hai uno scalare != da 0 mentre per gli altri tutti nulli, questo implica che $v=v1$
Eh, e allora quali sono le componenti di [tex]\mathbf v_1[/tex] rispetto alla base [tex](\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)[/tex]??
$(1,0,...,0)
Ecco.
Nel tuo caso ti è stato richiesto di completare il vettore [tex](1,-3)[/tex] ad una base e poi di dire le componenti di [tex](1,-3)[/tex] rispetto alla nuova base. Se hai capito il ragionamento appena fatto in generale, sarai d'accordo che le componenti saranno [tex](1,0)[/tex], qualunque sia il modo in cui hai completato la base!
Nel tuo caso ti è stato richiesto di completare il vettore [tex](1,-3)[/tex] ad una base e poi di dire le componenti di [tex](1,-3)[/tex] rispetto alla nuova base. Se hai capito il ragionamento appena fatto in generale, sarai d'accordo che le componenti saranno [tex](1,0)[/tex], qualunque sia il modo in cui hai completato la base!
Bè, si l'ho svolto prima è mi trovo
Quello che volevo farti capire è che non serve sempre fare i conti. In questo esercizio avresti potuto dare la risposta subito, ancora prima di fare la prima parte dell'esercizio!
Quindi avendo subito una base di $R^2$ avrei potuto dire che le cordinate di quel vettore erano $(1,0)$
Analogamente se avessi avuto una base in $R^3$? Le cordinate sarebbero state $(1,0,0)???
Analogamente se avessi avuto una base in $R^3$? Le cordinate sarebbero state $(1,0,0)???
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo