Base ortonormale per quali valori?
Sia ${i,j,k}$ una base ortonormale positivamente orientata di $V$. Siano $u=(a-1)i+j+k, v=-2i+(a+1)j, w=(a-1)i+j+2k.$
Per quali valori di $a {u,v,w}$ è una base di $V$?
Io ho posto: $u*v=0 -> a=3$
$v*w=0 -> a=3$
È corretto?
Per quali valori di $a {u,v,w}$ è una base di $V$?
Io ho posto: $u*v=0 -> a=3$
$v*w=0 -> a=3$
È corretto?
Risposte
Immagino la domanda sia per quali valori di $a$, ${u,v,w}$ è una base ortonormale di $V$.
Allora, il tuo ragionamento non è del tutto sbagliato, ma è incompleto.
Quando lavori con gli spazi vettoriali dovresti sapere che un insieme di vettori è una base se sono linearmente indipendenti e generano tutto lo spazio.
Nel nostro caso $V$ è lo spazio e l'informazione iniziale ti dice che ha dimensione 3. Allora se riusciamo a trovare tre vettori linearmente indipendenti siamo sicuri siano una base.
Per verificare che i tre vettori sono lin. ind. puoi ad esempio metterli in una matrice ($([a-1,1,1],[-2,a+1,0],[a-1,1,2])$) e poi ridurla e dovresti arrivare ad avere $([-2,a+1,0],[0,a^2+1,0],[0,0,1])$ se non ho sbagliato i conti. In questo caso se $V$ e lo spazio reale puoi ancora ridurre (perche $a^2+1\ne 0$) e rimani con $([-2(a^2+1),0,0],[0,(a^2+1),0],[0,0,1])$. Quindi sono lin ind perchè la matrice ha rango massimo. A questo punto puoi porre la condizione di ortogonalità (devi ricordarti che anche u e w devono soddisfarla però) e devi ancora verificare che i vettori che hai trovato abbiano norma 1. Poi allora puoi tirare un sospiro di sollievo e concludere..
Allora, il tuo ragionamento non è del tutto sbagliato, ma è incompleto.
Quando lavori con gli spazi vettoriali dovresti sapere che un insieme di vettori è una base se sono linearmente indipendenti e generano tutto lo spazio.
Nel nostro caso $V$ è lo spazio e l'informazione iniziale ti dice che ha dimensione 3. Allora se riusciamo a trovare tre vettori linearmente indipendenti siamo sicuri siano una base.
Per verificare che i tre vettori sono lin. ind. puoi ad esempio metterli in una matrice ($([a-1,1,1],[-2,a+1,0],[a-1,1,2])$) e poi ridurla e dovresti arrivare ad avere $([-2,a+1,0],[0,a^2+1,0],[0,0,1])$ se non ho sbagliato i conti. In questo caso se $V$ e lo spazio reale puoi ancora ridurre (perche $a^2+1\ne 0$) e rimani con $([-2(a^2+1),0,0],[0,(a^2+1),0],[0,0,1])$. Quindi sono lin ind perchè la matrice ha rango massimo. A questo punto puoi porre la condizione di ortogonalità (devi ricordarti che anche u e w devono soddisfarla però) e devi ancora verificare che i vettori che hai trovato abbiano norma 1. Poi allora puoi tirare un sospiro di sollievo e concludere..
Tra l'altro mi accorgo ora che sono sempre una base (sempre se non ho sbagliato i conti) ma non sono mai ortogonali a due a due..infatti per $a=3$ u e v sono ortogonali, v e w anche, ma u e w non lo sono. 
Quindi, visto che $u$ e $w$ non sono ortogonali $AA a in R$, non esiste nessun valore di $a$ per cui ${u,v,w}$ sono una base di di $V$, giusto?
Comunque, come avrei dovuto fare per imporre che i tre vettori dovevano avere norma uguale a $1$? Cioè: per un certo valore di $a$ i vettori dovevano essere ortogonali e per un altro valore di $a$ dovevano avere norma $1$. Però, se i due valori sono diversi, una delle due condizioni viene a mancare.
Oppure, una volta trovato il valore per cui i vettori sono ortogonali, si sostituisce tale valore e poi si normalizza il vettore?
Comunque, come avrei dovuto fare per imporre che i tre vettori dovevano avere norma uguale a $1$? Cioè: per un certo valore di $a$ i vettori dovevano essere ortogonali e per un altro valore di $a$ dovevano avere norma $1$. Però, se i due valori sono diversi, una delle due condizioni viene a mancare.
Oppure, una volta trovato il valore per cui i vettori sono ortogonali, si sostituisce tale valore e poi si normalizza il vettore?
Nonono, scusa, sono una base comunque, la condizione di ortonormalità è più forte di quella semplice di essere base. Sono base per ogni valore di a. Non sono mai ortogonali. E la norma la calcoli con il teorema di Pitagora in pratica, cioè la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti omonime. Una volta che hai i vettori dividi ogni vettore per la sua norma e quelli che ottieni hanno tutti norma 1. Nel tuo caso forse l'esercizio chiedeva solo di trovare una base..non anche ortonormale..
D'accordo sul fatto che sono una base per qualunque valore di $a$. Se l'es. ora mi chiede: Per quali fra i valori precedenti di $a$ la base ${u,v,w}$ è positivamente orientata?
È positivamente orienata se $u^^v*w >0$, giusto?
È positivamente orienata se $u^^v*w >0$, giusto?
Sì, direi proprio di sì.
Ma il fatto che sia positivamente orientata implica che siano anche ortogonali i vettori? Perché in quel caso, come abbiamo visto, i tre vettori non sono mai ortogonali.
No, non lo implica, implica solo che il terzo sia diretto nel verso della normale positiva relativa al piano identificato dai primi due...quindi non dovrebbe darti problema alcuno..
Ok, grazie.
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