Base Ortonormale con parametro

[veronicanardi]

Ciao a tutti,
avrei bisogno di una mano per risolvere questo esercizio. Devo determinare il valore di s per trovare una base ortonormale di autovettori della seguente matrice
A= $ ( (2, s^2), (1,s) ) $
Con il metodo classico (trovando gli autovalori, gli autovettori e normalizzando con Gram-Schmidt) è quasi impossibile portarsi dietro il parametro. Un altro metodo? Io avevo pensato alla matrice ortogonale, ma come devo procedere?
Grazie mille in anticipo.

[Studente Anonimo]

Imponendo che la matrice sia simmetrica:

$s^2=1 rarr s=+-1$

si determinano tutti i valori che soddisfano la consegna. Altrimenti (gli autovalori sono reali e distinti quale che sia il valore del parametro):

$\{(\lamda_1+\lamda_2=s+2),(\lambda_1lambda_2=-s^2+2s):}$

$((2-\lambda_1,s^2),(1,s-\lamda_1))((u_1),(u_2))=((0),(0)) rarr u_1=(\lamda_1-s)u_2 ^^ u_2ne0$

$((2-\lambda_2,s^2),(1,s-\lamda_2))((v_1),(v_2))=((0),(0)) rarr v_1=(\lamda_2-s)v_2 ^^ v_2ne0$

$u_1v_1+u_2v_2=0 rarr$

$rarr [(\lamda_1-s)(\lamda_2-s)+1]u_2v_2=0 rarr$

$rarr (\lamda_1-s)(\lamda_2-s)+1=0 rarr$

$rarr \lamda_1\lamda_2-(\lamda_1+\lamda_2)s+s^2+1=0 rarr$

$rarr s^2-1=0 rarr$

$rarr s=+-1$