Base ortogonale dell' intersezione di 2 sottospazi vettoriali
Ciao ragazzi, ho un problema con un esercizio di algebra, ho provato a cercare dappertutto sul forum una soluzione ma sinceramente è tutto il pomeriggio che ci provo e non ne sono ancora venuto a capo nonostante gli altri esercizi simili a questo non capisco dove sbaglio...
TESTO:
Calcolare un base ortogonale del sottospazio ottenuto intersecando l'immagine della trasformazione lineare $R3 \rightarrow R4$
$T(x,y,z)=(9x,9x+7y, 9y+7z,9x-z)$
con il sottospazio U =$ (x,y,z,t) $con $t=0$
SOLUZIONE: ${(0,9,7,0),(130,-360,280,0)}$
Questo è ciò che ho provato a fare:
1) trovo una base per l'immagine di T: ${(9,9,0,9),(0,7,9,0),(0,0,7,1)}$ (essendo il rango della matrice associata 3 ho preso tutti e tre i vettori)
2) trovo una base per U: ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)}$ (ho considerato la canonica di $R4$ senza considerare $(0,0,0,1)$ in quanto $t=0$)
3) quindi ho posto $(x+y+t, 7y+9,7z-t) = (x,y,z)$ per trovare l'intersezione, in quanto se un vettore appartiene all'intersezione deve poter essere scritto come c.l. di ognuna delle due basi, giusto?
4)peccato che risolvendo il sistema mi rimane un solo vettore mentre la dimensione dell'intersezione dovrebbe essere 2
E' tutt' oggi che provo ed ho provato con diverse procedure ma tutte palesemente sbagliate quindi ovviamente non sto a riportarle tutte, ma questa era quella che mi sembrava teoricamente più giusta. spero che qualcuno sappia aiutarmi
Grazie mille in anticipo e chiedo scusa se ho sbagliato qualcosa ma è il mio primo post, abbiate pazienza
TESTO:
Calcolare un base ortogonale del sottospazio ottenuto intersecando l'immagine della trasformazione lineare $R3 \rightarrow R4$
$T(x,y,z)=(9x,9x+7y, 9y+7z,9x-z)$
con il sottospazio U =$ (x,y,z,t) $con $t=0$
SOLUZIONE: ${(0,9,7,0),(130,-360,280,0)}$
Questo è ciò che ho provato a fare:
1) trovo una base per l'immagine di T: ${(9,9,0,9),(0,7,9,0),(0,0,7,1)}$ (essendo il rango della matrice associata 3 ho preso tutti e tre i vettori)
2) trovo una base per U: ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)}$ (ho considerato la canonica di $R4$ senza considerare $(0,0,0,1)$ in quanto $t=0$)
3) quindi ho posto $(x+y+t, 7y+9,7z-t) = (x,y,z)$ per trovare l'intersezione, in quanto se un vettore appartiene all'intersezione deve poter essere scritto come c.l. di ognuna delle due basi, giusto?
4)peccato che risolvendo il sistema mi rimane un solo vettore mentre la dimensione dell'intersezione dovrebbe essere 2
E' tutt' oggi che provo ed ho provato con diverse procedure ma tutte palesemente sbagliate quindi ovviamente non sto a riportarle tutte, ma questa era quella che mi sembrava teoricamente più giusta. spero che qualcuno sappia aiutarmi
Grazie mille in anticipo e chiedo scusa se ho sbagliato qualcosa ma è il mio primo post, abbiate pazienza
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