Base numerabile e ricoprimenti
Ciao!
Devo risolvere questo esercizio e mi inghippo alla fine
sia $(X,T)$ uno spazio topologico a base numerabile.
Se $F$ è un ricoprimento aperto allora esiste un sottoricoprimento numerabile
Posto $B={B_i, i in NN}$ una base numerabile.
Sono partito applicando due volte l’assioma della scelta
1. Posso trovare una applicazione $A:X->F$ per cui $x in A(x), forallx inX$
2. Posso trovare una applicazione $i:X->NN$ per cui $x in B_(i(x))subsetA(x)$
Risulta evidente che $B_1={B_(i(x)), x in X}$ sia un ricoprimento aperto.
Essendo $X$ a base numerabile è separabile pertanto esiste un sottoinsieme numerabile denso, lo chiamo $E$.
L’idea è di mostrare che $B_2={B_(i(x)), x in E}$ è un ricoprimento numerabile poiché se lo fosse si avrebbe
Non mi viene in mente un modo nè per bypassare l’utilizzo dell’assioma della scelta nè per dimostrare che quello sia un ricoprimento numerabile.
Devo risolvere questo esercizio e mi inghippo alla fine
sia $(X,T)$ uno spazio topologico a base numerabile.
Se $F$ è un ricoprimento aperto allora esiste un sottoricoprimento numerabile
Posto $B={B_i, i in NN}$ una base numerabile.
Sono partito applicando due volte l’assioma della scelta
1. Posso trovare una applicazione $A:X->F$ per cui $x in A(x), forallx inX$
2. Posso trovare una applicazione $i:X->NN$ per cui $x in B_(i(x))subsetA(x)$
Risulta evidente che $B_1={B_(i(x)), x in X}$ sia un ricoprimento aperto.
Essendo $X$ a base numerabile è separabile pertanto esiste un sottoinsieme numerabile denso, lo chiamo $E$.
L’idea è di mostrare che $B_2={B_(i(x)), x in E}$ è un ricoprimento numerabile poiché se lo fosse si avrebbe
$X=bigcup_(x in E)B_(i(x))subsetbigcup_(x in E)A(x)=> bigcup_(x in E)A(x)=X$
Non mi viene in mente un modo nè per bypassare l’utilizzo dell’assioma della scelta nè per dimostrare che quello sia un ricoprimento numerabile.
Risposte
Ora non ti posso essere più di tanto di aiuto, però in un post che ho aperto poco fa ho messo questo link: il teorema che riportano sull'unica risposta, dice che il tuo claim equivale alla possibilità di compiere scelte su famiglie numerabili non vuote di \( \mathbb{R} \).
Ciao marco 
Bello quel post però non saprei come usarlo qui.
Penso che per concludere bisogna utilizzare le proprietà di densità e numerabilità di $E$, ma non mi è venuto nulla al momento
Bello quel post però non saprei come usarlo qui.
Penso che per concludere bisogna utilizzare le proprietà di densità e numerabilità di $E$, ma non mi è venuto nulla al momento
"anto_zoolander":
2. Posso trovare una applicazione $i:X->NN$ per cui $x in B_(i(x))subsetA(x)$
Come?
Piuttosto usa la proprietà fondamentale delle basi ad ogni aperto del ricoprimento e vedi un po' se ti riesce concludere.
Poi dimostra come corollario che in uno spazio topologico a base numerabile da ogni base si può estrarre un sottoinsieme numerabile che a sua volta forma una base per la topologia.
Una curiosità: in realtà l'ipotesi che sia una base ( nel teorema) si può indebolire un po', prova a pensarci se ti va.
P.S. Questo risultato va sotto il nome di Teorema di Lindelof.
@otta
[ot]mi sei mancato[/ot]
fondamentalmente essendo $X$ a base numerabile significa che se dato $x in X$ esiste l'aperto $A(x)$ del ricoprimento che lo contiene. Essendo ${B_i, i in NN}$ una base allora $A(x)=bigcup_(i in JsubsetNN)B_i$
essendo quindi $x in A(x)$ segue che per almeno un $i in NN, x in B_isubsetA(x)$
considerando $Y(x)={B_i in B| x in B_i subset A(x)}$ poiché le famiglie sono non vuote per l'assioma della scelta esiste una funzione
Spero di non aver preso un palo.
ora provo.
[ot]mi sei mancato
[/ot]"otta96":
Come?
fondamentalmente essendo $X$ a base numerabile significa che se dato $x in X$ esiste l'aperto $A(x)$ del ricoprimento che lo contiene. Essendo ${B_i, i in NN}$ una base allora $A(x)=bigcup_(i in JsubsetNN)B_i$
essendo quindi $x in A(x)$ segue che per almeno un $i in NN, x in B_isubsetA(x)$
considerando $Y(x)={B_i in B| x in B_i subset A(x)}$ poiché le famiglie sono non vuote per l'assioma della scelta esiste una funzione
$f:X-> bigcup_(x in X)Y(x)$ dove $f(x) in Y(x)$
Spero di non aver preso un palo.
"otta96":
Piuttosto usa la proprietà fondamentale delle basi ad ogni aperto del ricoprimento e vedi un po' se ti riesce concludere.
Poi dimostra come corollario che in uno spazio topologico a base numerabile da ogni base si può estrarre un sottoinsieme numerabile che a sua volta forma una base per la topologia
ora provo.
Ora ho capito cosa intendevi ed è giusto.
Però non credo che la strada che hai intrapreso sia giusta (magari mi sbaglio), comunque ritengo molto più interessante ragionare su una funzione $\Phi:F->\mathcal{P}(B)$ tale che $AAU\inF$ si ha $U=uuu\Phi(U)$.
Però non credo che la strada che hai intrapreso sia giusta (magari mi sbaglio), comunque ritengo molto più interessante ragionare su una funzione $\Phi:F->\mathcal{P}(B)$ tale che $AAU\inF$ si ha $U=uuu\Phi(U)$.
Niente sono scemo.
Ho confuso la definizione di numerabilità con la possibilità di essere messi in corrispondenza con i numeri naturali. Quindi il problema è risolto
Ho confuso la definizione di numerabilità con la possibilità di essere messi in corrispondenza con i numeri naturali. Quindi il problema è risolto
a questo punto mi viene una domanda:
se consideriamo $RR$ con la topologia $T={(-a,a)}_(a>0)cup{emptyset}cup{RR}$
si può considerare separabile? poiché $E={0}$ interseca qualsiasi aperto non vuoto della topologia(è denso) ed è finito
se consideriamo $RR$ con la topologia $T={(-a,a)}_(a>0)cup{emptyset}cup{RR}$
si può considerare separabile? poiché $E={0}$ interseca qualsiasi aperto non vuoto della topologia(è denso) ed è finito
"anto_zoolander":
Ho confuso la definizione di numerabilità con la possibilità di essere messi in corrispondenza con i numeri naturali. Quindi il problema è risolto
In che senso?
Io cercavo di dimostrare che quell’insieme fosse numerabile nel senso che fosse equipotente ai numeri naturali, ma a quanto ho capito le definizioni di numerabilità richiedono che la cardinalità sia minore od uguale a quella di $NN$.
Perfetto.
Era troppo restrittivo più che altro, il dubbio mi è venuto quando stavo considerando che ogni spazio separabile fosse a base numerabile, siccome non riuscivo ad estrarre una quantità infinita di termini, sono andato a vedere se ci fosse qualche problema
Era troppo restrittivo più che altro, il dubbio mi è venuto quando stavo considerando che ogni spazio separabile fosse a base numerabile, siccome non riuscivo ad estrarre una quantità infinita di termini, sono andato a vedere se ci fosse qualche problema
si intendevo il viceversa
a questo punto metto la dimostrazione
$B$ denota una base numerabile e $F$ un ricoprimento aperto
Sappiamo che per ogni $x$ in $X$ esiste un aperto $Ain F$ del ricoprimento per cui $x in A$ a questo punto
considerando che $Y(x)={A in F, x in A}$ è non vuoto per ogni $x$ per l'assioma della scelta esista una funzione
$f:X->bigcup_(x in X)Y(x)$ dove $f(x) in Y(x)$ per ogni $x$
1. per costruzione questa funzione associa ad ogni punto un unico aperto del ricoprimento che contiene quell'elemento.
allo stesso modo posto $Z(x)={B_i in B, x in B_i subset f(x)}$ anche questo è non vuoto poiché $B$ è una base e quindi sempre per l'assioma della scelta esiste una funzione
$g:X->bigcup_(x in X)Z(x)$ dove $g(x) in Z(x)$
consideriamo la famiglia $F_1={g(x) , x in X}$ essendo un sottoinsieme di $B$ deve essere numerabile.
Poichè $X$ è a base numerabile allora è separabile e posto $E$ il sottoinsieme denso numerabile considero la seguente cosa
poichè $E$ è denso e $g(x)$ aperto si ha $g(x)capEneemptyset$
questo significa che $g(x)$ contiene almeno un elemento $e inE$ e per l'unicità dell'assegnazione deve essere $g(x)=g(e)$
da questo si è provato che $F_1={g(e), e in E}$ pertanto è ancora un ricoprimento aperto numerabile ed essendo contenuto in ${f(e), e in E}$ anche quest'ultime deve essere un ricoprimento numerabile che in particolare è un sottoricoprimento di $F$
a questo punto metto la dimostrazione
$B$ denota una base numerabile e $F$ un ricoprimento aperto
Sappiamo che per ogni $x$ in $X$ esiste un aperto $Ain F$ del ricoprimento per cui $x in A$ a questo punto
considerando che $Y(x)={A in F, x in A}$ è non vuoto per ogni $x$ per l'assioma della scelta esista una funzione
$f:X->bigcup_(x in X)Y(x)$ dove $f(x) in Y(x)$ per ogni $x$
1. per costruzione questa funzione associa ad ogni punto un unico aperto del ricoprimento che contiene quell'elemento.
allo stesso modo posto $Z(x)={B_i in B, x in B_i subset f(x)}$ anche questo è non vuoto poiché $B$ è una base e quindi sempre per l'assioma della scelta esiste una funzione
$g:X->bigcup_(x in X)Z(x)$ dove $g(x) in Z(x)$
consideriamo la famiglia $F_1={g(x) , x in X}$ essendo un sottoinsieme di $B$ deve essere numerabile.
Poichè $X$ è a base numerabile allora è separabile e posto $E$ il sottoinsieme denso numerabile considero la seguente cosa
poichè $E$ è denso e $g(x)$ aperto si ha $g(x)capEneemptyset$
questo significa che $g(x)$ contiene almeno un elemento $e inE$ e per l'unicità dell'assegnazione deve essere $g(x)=g(e)$
da questo si è provato che $F_1={g(e), e in E}$ pertanto è ancora un ricoprimento aperto numerabile ed essendo contenuto in ${f(e), e in E}$ anche quest'ultime deve essere un ricoprimento numerabile che in particolare è un sottoricoprimento di $F$
hai ragione, così mi piace molto di più.
Cercavo di sfruttare l'unicità dell'assegnazione ma è troppo macchinosa
Cercavo di sfruttare l'unicità dell'assegnazione ma è troppo macchinosa
"anto_zoolander":
Io cercavo di dimostrare che quell’insieme fosse numerabile nel senso che fosse equipotente ai numeri naturali, ma a quanto ho capito le definizioni di numerabilità richiedono che la cardinalità sia minore od uguale a quella di $NN$.
Riguardo a questa cosa, sebbene abbia già risposto arnett, volevo dire la mia.
Le cose stanno così: le convenzioni non sono uniformizzate su cosa si intende per "numerabile", ci sono due possibilità, $i)$un insieme equipotente a $NN$ e $ii)$ un insieme che ammette una funzione iniettiva a valori naturali.
C'è chi per indicare $i)$ dice numerabile e per indicare $ii)$ dice al più numerabile, altri con numerabile intendono la $ii)$ e per dire la $i)$ dicono infinito numerabile o denumerabile.
Ad ogni modo di solito quando si legge numerabile conviene pensare che si intenda la $ii)$, a meno che non ci siano motivi per pensare altrimenti.
Infine, quando si parla di topologia (in particolare negli assiomi di numerabilità) TUTTI intendono la $ii)$.
P.S. Ora cerca un esempio di spazio che soddisfa la proprietà della tesi (si dice che è uno spazio di Lindeloff) ma non ammette una base numerabile
Nella $ii$) ci metti quindi anche gli insiemi finiti? Ho capito correttamente?
@otta
Onestamente a prima lettura mi verrebbe da dire lo spazio che ho scritto sopra, ma ci devo pensare.
Sicuramente non ammette basi finite in quanto escluso $RR$ gli insiemi saranno del tipo $(-a_i,a_i)$, prendendo il massimo $m$ di questi $a_i$ si ottiene che $(m-1,m+1)$ non può essere scritto come unione di elementi della base.
Se ammettesse una base infinito-numerabile $B={(-a_i,a_i)}_(i in NN)cup{RR}$ avremmo due casi
- il sup $s$ degli $a_i$ è finito
con considerazioni analoghe $(s-1,s+1)$ non può essere scritto come unione di elementi della base
- il sup $s$ degli $a_i$ è $+infty$
non riesco a dimostrare solo questo punto....(e spero che non sia per l’aver sbagliato esempio
)
- è uno spazio di Lindelöf
Se $F={(-a_i,a_i), i in I}$ è un ricoprimento aperto possiamo distinguere due casi
1. Contiene $RR$; abbiamo finito
2. se non contiene $RR$ il sup di quegli elementi deve essere $+infty$ e consideriamo questo
Pongo $Y_n$ il sottoinsieme degli aperti di $F$ che contengono $n$. Essendo $F$ un ricoprimento $Y_n$ è sempre non vuoto pertanto sempre per il nostro bff assioma della scelta esiste una funzione $B:NN->bigcup_(n inNN)Y_n$ per cui $B_n in Y_n$
ottengo quindi che ${B_n, n inNN}$ è un sottoricoprimento numerabile e di per se non sarebbe sufficiente per concludere ma se fosse $bigcup_(n inNN)B_n neRR$ allora quel ricoprimento non conterrebbe almeno un naturale.
Quindi è di Lindelöf
mentre arrostisco vedo se riesco a dimostrare o confutare il punto che mi manca.
Onestamente a prima lettura mi verrebbe da dire lo spazio che ho scritto sopra, ma ci devo pensare.
Sicuramente non ammette basi finite in quanto escluso $RR$ gli insiemi saranno del tipo $(-a_i,a_i)$, prendendo il massimo $m$ di questi $a_i$ si ottiene che $(m-1,m+1)$ non può essere scritto come unione di elementi della base.
Se ammettesse una base infinito-numerabile $B={(-a_i,a_i)}_(i in NN)cup{RR}$ avremmo due casi
- il sup $s$ degli $a_i$ è finito
con considerazioni analoghe $(s-1,s+1)$ non può essere scritto come unione di elementi della base
- il sup $s$ degli $a_i$ è $+infty$
non riesco a dimostrare solo questo punto....(e spero che non sia per l’aver sbagliato esempio
)- è uno spazio di Lindelöf
Se $F={(-a_i,a_i), i in I}$ è un ricoprimento aperto possiamo distinguere due casi
1. Contiene $RR$; abbiamo finito
2. se non contiene $RR$ il sup di quegli elementi deve essere $+infty$ e consideriamo questo
Pongo $Y_n$ il sottoinsieme degli aperti di $F$ che contengono $n$. Essendo $F$ un ricoprimento $Y_n$ è sempre non vuoto pertanto sempre per il nostro bff assioma della scelta esiste una funzione $B:NN->bigcup_(n inNN)Y_n$ per cui $B_n in Y_n$
ottengo quindi che ${B_n, n inNN}$ è un sottoricoprimento numerabile e di per se non sarebbe sufficiente per concludere ma se fosse $bigcup_(n inNN)B_n neRR$ allora quel ricoprimento non conterrebbe almeno un naturale.
Quindi è di Lindelöf
mentre arrostisco vedo se riesco a dimostrare o confutare il punto che mi manca.
In effetti dovrebbe essere $(-a,a)=bigcup_(q inQQ,q
Peccato, per un pelo
Peccato, per un pelo
"arnett":
Sì: Munkres, specifica tutto questo in un capitolo preliminare: …
[ot]Chiedevo questo perché una volta, qui nel forum, ho usato "numerabile" in tal senso (quindi comprendendo anche gli insiemi finiti) e sono stato contestato "vivacemente"
[/ot]Grazie
Cordialmente, Alex
Scusate se rispondo solo ora ma ora rispondo a tutti-
Si esatto.
Ma quello non è un aperto
Questo non è proprio facilissimo però.... a meno che..... vabbè non voglio dare suggerimenti.
Altrimenti c'è uno spazio abbastanza noto che serve notoriamente come fonte di controesempi che magari può funzionare in questo caso.
Mi dispiace.
"axpgn":
Nella $ii$) ci metti quindi anche gli insiemi finiti? Ho capito correttamente?
Si esatto.
"anto_zoolander":
Sicuramente non ammette basi finite in quanto escluso $ RR $ gli insiemi saranno del tipo $ (-a_i,a_i) $, prendendo il massimo $ m $ di questi $ a_i $ si ottiene che $ (m-1,m+1) $ non può essere scritto come unione di elementi della base.
Ma quello non è un aperto
"arnett":
Riprova: cerca un compatto che non sia second-countable.
Questo non è proprio facilissimo però.... a meno che..... vabbè non voglio dare suggerimenti.
Altrimenti c'è uno spazio abbastanza noto che serve notoriamente come fonte di controesempi che magari può funzionare in questo caso.
"axpgn":
[ot]Chiedevo questo perché una volta, qui nel forum, ho usato "numerabile" in tal senso (quindi comprendendo anche gli insiemi finiti) e sono stato contestato "vivacemente"
Mi dispiace.
$(-m-1,m+1)$
La stessa cosa
Comunque per adesso sto ragionando su quel quesito
La stessa cosa
Comunque per adesso sto ragionando su quel quesito
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