Base numerabile

[Kroldar]

Qual è la base numerabile di intorni di $RR^n$ che genera la topologia euclidea? Non può essere l'insieme di tutte le palle aperte (che non è numerabile)... mentre noi sappiamo che $RR^n$ con la topologia euclidea è effettivamente II contabile

[Luca.Lussardi]

Prova con le palle aperte centrate in $\QQ^n$.

[Kroldar]

Ci avevo pensato, però devono avere tutte raggio $r in QQ$... unendo e intersecando palle di raggio razionale è possibile ottenere qualunque aperto della topologia euclidea?

[Fioravante Patrone1]

si
ogni palla è unione di palle di centro razionale e raggio razionale (basta fare uno "scan" di tutte le terne di razionali e prendere quelli per cui la corrispondete palla è contenuta nella palla data. Sta roba è ovviamente contenuta nella palla data, ma allo stesso tempo è anche impossibile che un punto della palla data ne resti fuori)
la conclusione è a questo punto banale, perché ogni aperto è unione di palle e pertanto anche di "palle razionali"
s.e.o.

[Kroldar]

"Fioravante Patrone":si
ogni palla è unione di palle di centro razionale e raggio razionale (basta fare uno "scan" di tutte le terne di razionali e prendere quelli per cui la corrispondete palla è contenuta nella palla data. Sta roba è ovviamente contenuta nella palla data, ma allo stesso tempo è anche impossibile che un punto della palla data ne resti fuori)
la conclusione è a questo punto banale, perché ogni aperto è unione di palle e pertanto anche di "palle razionali"
s.e.o.

Se lo dici tu ci credo, però non riesco a "vederlo"... diciamo di essere in $RR^2$ e voglio ottenere un disco aperto centrato nell'origine di raggio $pi$. Come lo ottengo a partire da dischi aperti di raggio razionale?

Per cosa sta "s.e.o."?

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":
Se lo dici tu ci credo, però non riesco a "vederlo"... diciamo di essere in $RR^2$ e voglio ottenere un disco aperto centrato nell'origine di raggio $pi$. Come lo ottengo a partire da dischi aperti di raggio razionale?

questo è facile, perché mi hai preso un disco di centro razionale
prendi un disco di raggio 3, poi uno di raggio 3,1 poi 3,14 e ancora 3,141 etc...

comunque, prendi un disco aperto qualsiasi
prendi un punto P che ci stia dentro
allora c'è un disco di centro P e raggio r tutto contenuto nel disco
penso sarai d'accordo che, "spostandoti un poco", trovi un punto Q di ascissa e ordinata razionale ed un razionale q>0 tale che il disco di centro Q e raggio q:
- contenga il punto P
- stia dentro il disco di centro P e raggio r
allora è fatta!

"Kroldar":Per cosa sta "s.e.o."?

"salvo errori od omissioni" (per non essere perseguito civilmente o penalmente, nel caso che uno abbia dei danni perché si è fidato di quello che dico)

[Kroldar]

"Fioravante Patrone":questo è facile, perché mi hai preso un disco di centro razionale
prendi un disco di raggio 3, poi uno di raggio 3,1 poi 3,14 e ancora 3,141 etc...

Uh vero... non tenevo in conto il fatto che l'unione infinita di aperti è un aperto

"Fioravante Patrone":
comunque, prendi un disco aperto qualsiasi
prendi un punto P che ci stia dentro
allora c'è un disco di centro P e raggio r tutto contenuto nel disco
penso sarai d'accordo che, "spostandoti un poco", trovi un punto Q di ascissa e ordinata razionale ed un razionale q>0 tale che il disco di centro Q e raggio q:
- contenga il punto P
- stia dentro il disco di centro P e raggio r
allora è fatta!

Vero... per ogni punto $P$ interno al disco di origine esiste un disco aperto di centro $Q$ razionale e raggio $q$ razionale che contiene $P$ e quindi con un'infinità di dischi di questo tipo sei sicuro di ricoprire tutto il disco di origine.
Grande!! Ti ringrazio.

"Fioravante Patrone":
"salvo errori od omissioni" (per non essere perseguito civilmente o penalmente, nel caso che uno abbia dei danni perché si è fidato di quello che dico)

Aahahuhuahuahuhahh... Tipo il disclaimer: si declina da ogni responsabilità