Base Nucleo e Immagine (omomorfismo R3->R4)

[Alex_2017]

Buonasera a Tutti,
stavo svolgendo alcuni esercizi relativamente ad un imminente esame ma mi sono fermato ad un certo punto.
Il problema nasce dal fatto che, in primis l'argomento non è che mi sia chiarissimo, e poi che sono abituato a lavorare con omomorfismi del tipo $f : R^3 -> R^3 $ mentre questa volta mi trovo con $f : R^3 -> R^4 $.

Nello specifico l'omorfismo in questione è $f ((a) ,(b) ,(c)) = ((a+2c),(b-c),(a+b+c),(2a+4c))$

Tramite messa a sistema mi sono ricavato una base per il nucleo e la sua dimensione con il seguente procedimento:

$\{(a + 2c = 0),(b-c=0),(a+b+c=0),(2a+4c=0):} {(a + 2c = 0),(b=c),(a=-2c),(a+2c=0):} {(a = -2c),(b=c):} $

Da quanto sopra ottengo quindi: $ [[-2c],[c],[c]] = c [[-2],[1],[1]] $

Quindi $(-2,1,1)$ è una base del nucleo e la sua dimensione (è corretto dire dimensione della base del nucleo???) è $1$

A questo punto solitamente tramite il Teorema di Nullità più Rango mi ricavo la dimensione e conseguentemente la base dell'immagine.

Se avessi avuto il caso $f : R^3 -> R^3 $ avrei fatto $ 3 - 1 = 2 $ e mi sarei trovato 2 vettori della base dell'immagine (solitamente trasformo i vettori della base canonica).

Ma in questo caso $f : R^3 -> R^4 $ devo fare $ 4 - 1 = 3 $ oppure $ 3 - 1 = 2 $ ?
Da questa domanda è evidente che i concetti non mi sono molto chiari

Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà

[feddy]

ops... ho scritto una cavolata. Si vede che era tardi

Certo, è corretto! Si trattava di risolvere il sistema, solo che avendo dato un'occhiata veloce non avevo fatto alcun conto. Perdonami.

[Alex_2017]

"feddy":ops... ho scritto una cavolata. Si vede che era tardi
Certo, è corretto! Si trattava di risolvere il sistema, solo che avendo dato un'occhiata veloce non avevo fatto alcun conto. Perdonami.

Ma scherzi.... e che ti devo perdonare???!!!!
Allora io che ho scritto che la base canonica è composta da vettori linearmente indipendenti che devo dire???
Tutto fa esperienza.... come detto ho appreso più cose in queste 24 ore che in una settimana...quindi nessun problema....ci mancherebbe altro
Fortuna ha voluto che ho avuto un collega che ha preso 30 e lode al compito in cui c'era questo esercizio, qundi mi sono confrontato con lui che si è ritrovato sottomano i calcoli che aveva fatto al compito per cui è stato dedotto appunto:
- base nucleo = vettore nullo
- base immagine = base canonica

L'importante è aver risolto così chiudo questa tipologia di esercizi con un certo margine di sicurezza e posso passare oltre....(come detto ad intersezione e somma di sottospazi).

Grazie come sempre per l'aiuto

[feddy]

Di nulla !