Base e dimensione sottospazi vettoriali

[vetrano1]

Ciao ho problemi con questo esercizio qualcuno può aiutarmi ? Sia S il sottospazio vettoriale $S=[((0,1),(1,-1))((0,1),(-1,0))((1,0),(0,2))((1,2),(0,1))]$ . Determinare l'equazione di S nella base naturale di $R^(2,2)$ e determinare una base e la dimensione. Con questi tipo di sottospazi non so come iniziare. Grazie per le riposte.

[giuscri]

Ci provo.

"vetrano":Sia S il sottospazio vettoriale $S=[((0,1),(1,-1))((0,1),(-1,0))((1,0),(0,2))((1,2),(0,1))]$ . Determinare l'equazione di S nella base naturale di $R^(2,2)$

....mmm, mai sentito parlare di equazione associata ad un sistema di vettori. Chi e' poi \(\mathbb{R}^{2,2}\)? Ma potrebbe benissimo essere ignoranza mia.

... e determinare una base e la dimensione.

Ti sto insultando se ti dico che basta trovare un set libero?
Nel caso:

al posto delle matrici lavorerei con vettori di \(\mathbb{R}^4\). Puoi farlo, perche' le coordinate rispetto alle due basi canoniche dei due spazi sono le stesse. Quindi potresti vedere
\[S = \operatorname{Span} \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}^T, \ldots{} \right\} \]
Questo dovrebbe permetterti di trasformare il problema di lavorare con matrici in quello di lavorare con vettori.

Quindi nada ...ti calcoli l'indipendenza lineare di
\[\underline{v}_1 := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}^T, \]
\[\underline{v}_2 := \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}^T, \]
\[\underline{v}_3 := \ldots{}\]
\[\underline{v}_4 := \ldots{} \]
Partendo da \(\underline{v}_1\) io ho trovato che \(S\) genera un sottospazio di \(\mathbb{R}^4\) di dimensione \(3\).

[vetrano1]

Grazie mille per la risposta mi trovo anche io dimensione 3 quindi una base sarà $(1,0,-1,1),(0,1,1,-1),(1,2,1,-1)$ giusto? Per quanto riguarda le equazioni saranno ${(x+z+w=0,y+2z-w=0,-x+y+z-2w=0,x-y-z+2w=0)}?

[vetrano1]

Grazie mille per la risposta mi trovo anche io dimensione 3 quindi una base sarà $(1,0,-1,1),(0,1,1,-1),(1,2,1,-1)$ giusto? Per quanto riguarda le equazioni saranno ${(x+z+w=0,y+2z-w=0,-x+y+z-2w=0,x-y-z+2w=0)}$?

[vetrano1]

Nessuno mi può aiutare con le equazioni della base naturale?