Base e dimensione di questo insieme
Sia H l'insieme delle matrici 2x2 permutabili con C = $ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) ) $
Determinare una base e la dimensione di H.
SVOLGIMENTO:
Fissata una matrice A = $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ ho imposto AC=CA e mi ritrovo, un sistema di questo tipo
a+b=a
b=b
a+c=c+d
d=c+d
Ora, le soluzioni sono date da a=d e b,c=0 oppure da a=d, b,c=qualsiasi numero?
Determinare una base e la dimensione di H.
SVOLGIMENTO:
Fissata una matrice A = $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ ho imposto AC=CA e mi ritrovo, un sistema di questo tipo
a+b=a
b=b
a+c=c+d
d=c+d
Ora, le soluzioni sono date da a=d e b,c=0 oppure da a=d, b,c=qualsiasi numero?
Risposte
Se ci fai caso, l'identità \(b=b\) non ti dice proprio nulla quindi la puoi scartare; utilizzando le restanti \(3\) equazioni capisci quale delle soluzioni proposte è corretta!
In questo modo ottengo a=d e c=0, quindi avrei
S={(h,0,h), al variare di h,k in R}, cioè
(h,0,h) = h(1,0,1) e quindi B={(1,0,1)} cioè dim H = 1. E' corretto?
S={(h,0,h), al variare di h,k in R}, cioè
(h,0,h) = h(1,0,1) e quindi B={(1,0,1)} cioè dim H = 1. E' corretto?
Il sistema è:
\(\displaystyle \begin {cases} a+b=a\\c+d=a+c\\d=b+d\end {cases}\)
Da cui :
\(\displaystyle \begin {cases} b=0\\d=a\end {cases}\)
Pertanto le matrici richieste sono del tipo :\(\displaystyle \begin{pmatrix}a&0\\c&a\end{pmatrix} \)
con a e c qualsiasi. Poiché sono presenti due parametri liberi è facile stabilire dimensione e base delle anzidette matrici.
\(\displaystyle \begin {cases} a+b=a\\c+d=a+c\\d=b+d\end {cases}\)
Da cui :
\(\displaystyle \begin {cases} b=0\\d=a\end {cases}\)
Pertanto le matrici richieste sono del tipo :\(\displaystyle \begin{pmatrix}a&0\\c&a\end{pmatrix} \)
con a e c qualsiasi. Poiché sono presenti due parametri liberi è facile stabilire dimensione e base delle anzidette matrici.
Grazie ad entrambi, finalmente ho capito 
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