Base e dimensione dell'immagine
Salve a tutti. Ho il seguente esercizio:
sia $f:R^4 rarr R^3$ l'omomorfismo rappresentato dalla matrice: $((1,-1,3,1),(-2,0,1,-1),(5,-1,1,3))$ rispetto alla base canonica di $R^4$ e alla base $B={(1,-2,1),(2,-1,0),(2,0,0)}$ di $R^3$.
Calcolare la dimensione e una base di $Im f$.
Sul libro ho trovato la seguente proposizione:" I vettori colonna della matrice rappresentativa dell'omomorfismo costituiscono un sistema di generatori per $Im f$". A questo punto in che modo incide il fatto che la matrice rappresenta $f$ rispetto la base NON canonica dello spazio di arrivo? I vettori colonna lineramente indipendenti della matrice rappresentano una base di $Im f$?
sia $f:R^4 rarr R^3$ l'omomorfismo rappresentato dalla matrice: $((1,-1,3,1),(-2,0,1,-1),(5,-1,1,3))$ rispetto alla base canonica di $R^4$ e alla base $B={(1,-2,1),(2,-1,0),(2,0,0)}$ di $R^3$.
Calcolare la dimensione e una base di $Im f$.
Sul libro ho trovato la seguente proposizione:" I vettori colonna della matrice rappresentativa dell'omomorfismo costituiscono un sistema di generatori per $Im f$". A questo punto in che modo incide il fatto che la matrice rappresenta $f$ rispetto la base NON canonica dello spazio di arrivo? I vettori colonna lineramente indipendenti della matrice rappresentano una base di $Im f$?
Risposte
Ti confermo che i vettori colonna linearmente indipendenti formano una base per $Im f$. L'unica cosa è che le loro coordinate saranno rispetto alla base $B$. L'esercizio non sembra richiederlo, ma se tu vuoi calcolare le loro coordinate rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^3$ puoi fare come segue: prendiamo ad esempio la prima colonna. Le sue coordinate rispetto alla base canonica saranno:
$1((1),(-2),(1))-2((2),(-1),(0))+5((2),(0),(0))=((7),(0),(1))$
Paola
$1((1),(-2),(1))-2((2),(-1),(0))+5((2),(0),(0))=((7),(0),(1))$
Paola
Quindi se per esempio avessi avuto anche una base di $R^4$ anzichè considerare quella canonica, nel calcolo del nucleo
dopo aver trovato una sua base rispetto alla base canonica avrei dovuto proiettarla sulla base data?
dopo aver trovato una sua base rispetto alla base canonica avrei dovuto proiettarla sulla base data?
No, se avessi avuto un'altra base $B'$ nel dominio avresti ricavato i vettori base del nucleo in coordinate rispetto alla base $B'$. Se poi li volevi rispetto alla base canonica facevi il giochino che ti ho detto nel post precedente.
Paola
Paola
Temo di non aver capito. Se per esempio $B'={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,1,0,1)}$ è la base di $R^4$ rispetto cui calcolare il nucleo. Una base del $ker f$ la ricavo dallo spazio delle soluzioni della matrice rappresentativa; la base trovata sarà calcolata rispetto la base canonica di $R^4$ e non rispetto a $B'$ giusto?
Se non ho fatto errori dallo spazio delle soluzioni ricavo che una base del $ker f$ è: $(1,7,2,0),(-1,1,0,2)$. Ora per cacolarla rispetto $B'$ devo procedere in questo modo?:
$V1=1(1,0,0,0)+7(1,1,0,0)+2(0,1,1,1)+0(0,1,0,1)=(8,9,2,0)$ e allo stesso modo calcolo l'altro vettore della base...
Se non ho fatto errori dallo spazio delle soluzioni ricavo che una base del $ker f$ è: $(1,7,2,0),(-1,1,0,2)$. Ora per cacolarla rispetto $B'$ devo procedere in questo modo?:
$V1=1(1,0,0,0)+7(1,1,0,0)+2(0,1,1,1)+0(0,1,0,1)=(8,9,2,0)$ e allo stesso modo calcolo l'altro vettore della base...
Ho riletto la tua domanda e temo di aver frainteso prima.
Quello che volevo dire io era: se la tua matrice è rispetto alla base $B'$ nel dominio, quando vai a calcolare la base del $Ker$ essa sarà in coordinate rispetto alla base $B'$. Credevo che tu chiedessi questo.
Nel tuo esempio, trovi la base del Ker rispetto alla base canonica, che è quella del dominio. Se vuoi ora trovare le coordinate di questi vettori rispetto alla base $B'$ che hai scritto dovrai risolvere 2 sistemi lineari. Ad esempio per trovare il primo vettore $(1,7,2,0)$ dovrai risolvere:
$x((1),(0),(0),(0))+y((1),(1),(0),(0))+z((0),(1),(1),(1))+t((0),(1),(0),(1))=((1),(7),(2),(0))$
Paola
Quello che volevo dire io era: se la tua matrice è rispetto alla base $B'$ nel dominio, quando vai a calcolare la base del $Ker$ essa sarà in coordinate rispetto alla base $B'$. Credevo che tu chiedessi questo.
Nel tuo esempio, trovi la base del Ker rispetto alla base canonica, che è quella del dominio. Se vuoi ora trovare le coordinate di questi vettori rispetto alla base $B'$ che hai scritto dovrai risolvere 2 sistemi lineari. Ad esempio per trovare il primo vettore $(1,7,2,0)$ dovrai risolvere:
$x((1),(0),(0),(0))+y((1),(1),(0),(0))+z((0),(1),(1),(1))+t((0),(1),(0),(1))=((1),(7),(2),(0))$
Paola
Perfetto. Ora penso di aver capito. Quindi se la matrice è scritta rispetto ad una certa base dello spazio di partenza e una dello spazio di arrivo io troverò sempre le coordinate di qualsiasi vettore rispetto a una delle due basi! Per calcolare le componenti rispetto alla basi canoniche opero come abbiamo visto prima! Giusto? 
Giusto.
Paola
Paola
Grazie mille!
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