Base di Ker(T) e Im(T)

[Ikigo]

Salve a tutti sto avendo problemi con un esercizio abbastanza semplice, potete aiutarmi ??
Sia T l'applicazione lineare T: $ R^4rarr R^3 $ tale che:
T(1,1,0,0)=(1,2,0)
T(0,1,1,0)=(0,1,-1)
T(0,0,1,1)=(1,1,1)
T(0,0,0,1)=(0,0,0)
i) Determinare dimensione e base di $ Ker(T) $ $e$ $ Im(T) $
ii) Scrivere la matrice associata a T nei riferimenti canonici di $R^4$ e $R^3$

[massimoaa]

Si tratta di un esercizio standard che dovresti saper fare. Ti dico solo le equazioni di T (il resto è facile) :
\[T
\begin{bmatrix}
x \\
y\\
z\\
t
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2x-y+z \\
2x+z\\
2x-2y+z
\end{bmatrix}=
\]

[Ikigo]

Il primo punto l'ho svolto così, potete dirmi se è corretto ?

Ho trovato le immagini della base canonica di $R^4$ partendo da $T(0,0,0,1)=(0,0,0)$
E i risultati ottenuti sono:
$(1,0,0,0)=(0,2,-2)$
$(0,1,0,0)=(-1,0,-2)$
$(0,0,1,0)=(1,1,1)$

Ho poi ricavato la matrice associata alle immagini della base:
$ [ ( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 1 , 0 ),( -2 , -2 , 1 , 0 ) ] $

E da questa ho ricavato il sistema per il calcolo di una base di Ker(T)
$ { ( -y+z=0 ),( 2x+z=0 ),( -2x-2y+z=0 ):} $

Come risultato del sistema ho calcolato (è giusto ??):
$x=-1/2$ $y=1$ $z=1$ $rArr$ $Base Ker(T)= (-1/2,1,1)$
Quindi la dimensione del nucleo dovrebbe essere 1.

Fin quì ho fatto bene ?? Come procedo al punto 2 ?

[cooper1]

quando scrivi le immagini dei vettori metti anche la T, così non hanno senso. l'immagine di $e_1$ è sbagliata: hai sommato a $T(e_1+e_2)$ l'immagine di $e_2$ che invece va sottratta.
per il nucleo i conti dovrebbero essere sbagliati ma il procedimento è corretto. ti faccio anche notare che $e_3 in ker T$
Il punto 2 l'hai già svolto. manca solo la dimensione dell'immagine.

[Ikigo]

Grazie della risposta. Quindi per nullità più rango dovrebbe essere 2 la dimensione di $Im(T)$
L'ultimo dubbio: Non mi è molto chiaro, una volta svolti i calcoli, da cosa capisco la dimensione del nucleo.

[cooper1]

non so se quella sia la dimensione dell'immagine perchè non so il nucleo giusto (correggendo gli errori che ti dicevo) che dimensione abbia.
la dimensione del nucleo corrisponde ala cardinalità di una sua base: quindi trovi una base del nucleo e conti da quanti vettori è formata. oppure calcoli la base dell'immagine e trovi la dimensione del nucleo con nullità+rango.